大家好，我是 Senko。 本文将解读“期望效用理论”。
比较有风险的选项时，光靠单纯的期望值说明不了人的行为。不按结果的“客观价值”，而按“主观满意度（效用）”的期望值来选择，这就是期望效用理论。它是现代经济学、金融理论与决策科学的基础。
光靠期望值说明不了的问题
先确认“期望值”的概念。
以 50% 的概率得 100 万元、50% 的概率得 0 元，这张彩票的期望值是： 100 万元 × 0.5 + 0 元 × 0.5 ＝ 50 万元
被问到这张彩票与确定的 50 万元选哪个时，许多人会选确定的 50 万元。期望值明明相同，为什么呢。
再看更复杂的问题。以 50% 的概率得 200 万元、50% 得 0 元的彩票（期望值 100 万元），与确定的 100 万元，你选哪个？而当被问到“若选彩票，最多愿意放弃到多少万元”，答案因人而异得厉害。有人 95 万元也不愿换，另一个人也许 70 万元就把彩票撒手。
对期望值相同的选项，评价却因人而异——这个现象光靠期望值说明不了。
圣彼得堡悖论
与期望效用理论的诞生直接相关的问题，是“圣彼得堡悖论”。它由瑞士数学家丹尼尔·伯努利于 1738 年提出。
游戏的内容：不停抛硬币，直到第一次出现正面为止。第 1 次出正面得 1 元，第 2 次才第一次出正面得 2 元，第 3 次得 4 元，第 n 次得 2^(n-1) 元。
为参加这个游戏付多少钱才算理性？
计算期望值： 第 1 次出正面（概率 1/2）：1 元 × 1/2 ＝ 0.5 元 第 2 次才出正面（概率 1/4）：2 元 × 1/4 ＝ 0.5 元 第 3 次才出正面（概率 1/8）：4 元 × 1/8 ＝ 0.5 元 ……如此无限延续
期望值合计 ＝ 0.5 + 0.5 + 0.5 + … ＝ 无穷大
因此，最大化期望值的“理性主体”为参加这个游戏本该支付无限的代价。可现实中谁也不会花上千万来参加。
为解决这个悖论，伯努利提议“不该按奖金本身（金额）来评价，而该按与奖金所带来效用之对数成比例的量来评价”。这就是期望效用理论的雏形。
用对数效用函数 u(x) = log(x)，圣彼得堡游戏的期望效用便收敛到有限值，从而导出现实的参加费（几元到几百元的量级）。
伯努利的效用函数与边际效用递减
伯努利提议的核心是“边际效用递减法则”。
随着收入或财富增加，同样一笔追加额所带来的满意度（边际效用）会减少。
- 财产从 0 元增到 1 万元时满意度的增量
- 财产从 100 万元增到 101 万元时满意度的增量
- 财产从 1 亿元增到 1 亿零 1 万元时满意度的增量
三者相比，金额增量同样是 1 万元，可满意度的增加应当是第一个最大、第三个最小。
这个性质（效用函数为凹型）就是风险规避行为的数学根据。
在凹型的效用函数下，不确定选项（彩票）的期望效用会小于确定选项（确定拿到期望值）的效用。这就是风险规避者的行为模式。
反过来，效用函数为凸型的人是风险偏好者（比起确定的钱更喜欢期望值相同的彩票），效用函数为线性的人是风险中性者（只按期望值判断）。
冯·诺伊曼–摩根斯坦公理
给期望效用理论以现代数学基础的，是 1944 年约翰·冯·诺伊曼与奥斯卡·摩根斯坦合著的《博弈论与经济行为》。
他们提出了“理性决策者应当遵守的公理”，共四条。
1. 完备性（Completeness）：把任意两个选项相比时，要么偏好 A 胜过 B，要么偏好 B 胜过 A，要么无差异（哪个都行）。不存在“无法比较”的情形。
2. 传递性（Transitivity）：偏好 A 胜过 B、偏好 B 胜过 C，则偏好 A 胜过 C。偏好没有矛盾。
3. 连续性（Continuity）：当偏好 A 胜过 B、偏好 B 胜过 C 时，存在一个概率 p，使得 pA + (1−p)C 这张彩票与 B 无差异。
4. 独立性（Independence）：把某个选项的一部分替换成同一个第三选项，原来的偏好顺序也不变。
满足这四条公理的偏好关系，必定能表示成“效用函数的期望值”——这就是冯·诺伊曼–摩根斯坦定理（期望效用定理）。
反过来说，接受这四条公理的“理性决策者”，必然应当采取最大化期望效用的行动。
风险规避与风险溢价
期望效用理论最重要的应用，是对“风险规避”（Risk Aversion）的定量分析。
风险溢价：某个不确定选项（彩票）的期望值，减去某人为回避这份不确定性而愿意放弃后仍可接受的金额，所得之差。
例：以 50% 概率得 100 万元、50% 得 0 元的彩票（期望值 50 万元）。若某人觉得这张彩票与确定的 35 万元无差异，那么风险溢价就是 50 万元 − 35 万元 ＝ 15 万元。
确定性等价（Certainty Equivalent）：与某个不确定选项无差异的确定金额（上例中的 35 万元）。
作为风险规避程度的指标，经济学中使用以下两个：
- 绝对风险规避度（ARA）：u”(x) / u’(x)（效用函数的曲率）。财产增加也不变的属于“绝对风险规避度不变（CARA）”型。
- 相对风险规避度（RRA）：x × ARA。相对于财产的风险容忍比例。
这些指标被用于资产组合理论、保险设计与养老金制度设计中的资产配置优化。
保险合理性的解释
保险是风险规避最典型的实践例，其合理性可用期望效用理论解释。
设车祸的概率为 1%，事故时的修理与赔偿费用为 500 万元，则年度期望损害为 5 万元。若保费是 7 万元，光看期望值，投保就是“一年亏 2 万元”。
可当有 1% 的概率遭受 500 万元的突发损害时，那 500 万元带来的效用打击（生活基础崩塌、还不上贷款等），远大于 7 万元保费的效用成本。
从期望效用的角度看，付出风险溢价去回避巨大损害是理性的。保险公司则通过从大量客户处承接风险、把风险汇集起来，将个别风险平滑化并获利。
同样的逻辑也解释了以下行为：
- 比起单只股票投资，更偏好分散投资（资产组合）
- 比起有巨大损失风险的投资，更偏好低回报低风险的存款
- 中小企业为平滑收益波动而做对冲交易
阿莱悖论与期望效用理论的局限
期望效用理论是强大的理论，可 1952 年莫里斯·阿莱提出的“阿莱悖论”表明它与现实的人类行为并不一致。
问题 A：
- 选项 A1：确定拿到 100 万元
- 选项 A2：89% 得 100 万元，10% 得 500 万元，1% 得 0 元（期望值 139 万元）
问题 B：
- 选项 B1：11% 得 100 万元，89% 得 0 元（期望值 11 万元）
- 选项 B2：10% 得 500 万元，90% 得 0 元（期望值 50 万元）
若遵循期望效用理论，选 A1 > A2 的人就该选 B1 > B2，选 A2 > A1 的人就该选 B2 > B1（由独立性公理可得）。
可实验中许多人选的是 A1 > A2 且 B2 > B1。这与独立性公理相矛盾。
阿莱悖论所展示的是，人有特别高估“确定性（从 1% 到 0% 的变化）”的倾向（确定性效应）。这个倾向用期望效用理论说明不了。
阿莱悖论之外，期望效用理论难以说明的现象还有：
埃尔斯伯格悖论：概率明确时（风险下）与概率不明时（不确定性下），人的偏好并不一致（模糊规避）。
对小概率的高估：买彩票（中奖概率千万分之一）的行为难以用期望效用最大化说明。这由前景理论的概率加权函数来解释。
期望效用理论的应用
即便有理论上的局限，期望效用理论仍在许多实用领域被使用。
资产组合理论：马科维茨的均值方差方法以投资者的风险规避程度为前提，优化期望回报与风险（方差）的取舍。在有效前沿上选择组合，就是最大化投资者效用函数的问题。
保险精算：保费的设定、风险转移的定价、再保险的设计，都是把期望效用理论与统计风险模型组合起来做的。
政策评估：在法规变更、基础设施投资与社会保障制度设计中，考虑不同收入阶层边际效用不同的社会福利函数，正基于期望效用理论。
决策分析：在企业的投资判断、研发战略与并购评估中，会使用把决策树与期望效用组合起来的“决策分析（Decision Analysis）”。
结语
本文解读了“期望效用理论”。
期望效用理论作为展示“理性决策者在不确定处境下应当如何选择”的规范理论，是金融、保险与政策设计的基础。
“不只看期望值，也把结果的主观满意度（效用）考虑进去”这个发想，让保险、投资与个人财务判断上的决策更加现实。阿莱悖论所展示的局限，也成了前景理论与行为经济学这些进阶研究的起点。
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