巴拿赫–塔斯基悖论——把球分解一下就能变成两个？

大家好，我是 Senko。本文将解读“巴拿赫–塔斯基悖论”。

把一个球切成 5 块，仅通过旋转和平移重新组装，就能得到两个和原来完全相同尺寸的球——听起来难以置信，但这是波兰数学家斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基于 1924 年用数学严格证明的定理。

它是数学所有定理中最违背直觉的定理之一，向数学的根基本身抛出了深刻的问题。

到底证明了什么

准确地说，这个定理主张如下内容。

把三维空间中的一个球分割成有限多个部分，仅通过旋转和平移重新排列这些部分，就能拼出两个（甚至三个、一百个）与原球同样大小的球。

关键在于，整个过程完全不进行“拉伸”或“压缩”之类的变形。纯粹只有旋转和移动，体积却翻了一倍。看起来明显违反物理法则，但在数学上它是正确的。

最少的分割数是 5 块，而且已经证明 4 块不可能做到。仅用 5 块就能让球翻倍——这个事实让悖论的冲击力更上一层。

窍门在于“被分割出的部分”的性质。

我们日常切蛋糕、切苹果时，每一块都有明确的体积，所有块的体积之和等于原来的体积。

然而，巴拿赫–塔斯基分割产生的碎块，是无法定义通常意义上的“体积”的诡异图形。数学上称为“不可测集合”：它们作为点的集合确实存在，但形状复杂到极致，以至于“它是多少立方厘米”在数学上根本无法定义。

既然碎块的体积无法定义，“体积之和＝原体积”这条规则也就不再成立。于是，“体积看似增加”的组装才成为可能。

为了理解不可测集合的存在，我们看一个一维的类似例子。

考虑 0 到 1 之间的实数区间。按照某种特殊规则把其中的点分组，再从每组中恰好取出一个点组成的集合，就是“维塔利集合”。

这个维塔利集合无法定义长度（一维的“体积”）。如果长度为 0，那么把平移后的维塔利集合排上可数多个，总长度仍为 0，不可能覆盖 0 到 1；如果长度为正，排上可数多个就会变成无穷大，装不进有限区间。两种情况都矛盾，因此“定义长度”这件事本身不可能。

巴拿赫–塔斯基分割产生的碎块，本质上就是把同样的东西扩展到了三维。

巴拿赫–塔斯基悖论得以成立，离不开一条数学公理——选择公理。

选择公理粗略地说，就是“给定一族非空集合，存在一个从每个集合中各选出一个元素的函数”。按日常感觉这理所当然，但一旦涉及无穷多个集合，它就成了相当强的主张。

巴拿赫–塔斯基分割产生的不可测碎块，正是用选择公理构造出来的。没有选择公理就造不出这种碎块，悖论也不会发生。

由于这个悖论太违背直觉，曾有数学家主张“不应接受选择公理”。然而，选择公理被用于证明数学中许多重要定理（佐恩引理、吉洪诺夫定理、任意向量空间存在基等），扔掉它并不现实。

现代数学基本接受了选择公理，巴拿赫–塔斯基悖论也被认定为“违背直觉但正确的定理”。甚至可以说，接受这类反直觉的结论，正是采用选择公理所要付出的代价。

有趣的是，巴拿赫–塔斯基悖论只在三维及以上成立，一维和二维都不行。

原因是三维旋转群中包含一种叫“自由群”的结构。自由群能生成无限复杂的组合，使构造不可测集合所需的“悖论式分解”成为可能。二维旋转群没有这个结构，同样的手法无从下手。

当然，在现实世界里不可能把球变成两个。

原因在于，巴拿赫–塔斯基分割产生的碎块是物理上无法实现的形状。它们拥有无限复杂的结构，再精密的刀也切不出来。

物质由原子构成，物理上不可能以小于原子的单位进行切分。巴拿赫–塔斯基悖论只在把物质理想化为“点的集合”的数学世界里成立。

尽管如此，“数学上正确的定理与物理直觉完全相悖”这一事实，仍向数学与物理学的关系抛出了深刻问题。数学是描述物理世界的语言，但数学中存在物理世界里没有对应物的概念——巴拿赫–塔斯基悖论正是最戏剧化的例证。

这条定理之所以让人难以接受，原因在于证明中用到的选择公理。数学家的立场也并非铁板一块。