大家好，我是 Senko。 本文把数学与科学中著名的“未解决问题”汇总成一份清单来介绍。
一听到未解决问题，您也许会想象成只有专家才懂的话题。可数学里那些著名的未解决问题，有好几个是光看题面连小学生都能理解的。偶数能不能写成两个素数之和。把数乘 3 加 1 的这套玩法，是不是一定会回到 1。规则简单得像游戏，全世界的天才以百年为单位挑战过，却没有一个人证得出来。我觉得这道落差，正是这个门类最大的魅力。
而且它们并不只是脑力体操。其中有的一问就悬着100 万美元的赏金，也有直连现代社会地基的问题，比如互联网密码的安全性，或者计算机能力的极限。
本文把著名的未解决问题整理成“素数与整数之谜”“简单规则与计算之谜”“图形与方程之谜”“物理与宇宙之谜”四类共 15 问来介绍。给数学最重要的 7 个问题各悬 100 万美元的“千禧年大奖难题”，7 问也全部收录了。每一个问题都备有单独的解读文章。
挑战素数与整数之谜的猜想们
第一类，是被称为“数学之王”的素数与整数的未解决问题。素数是 2、3、5、7、11……无穷延续下去，这在 2300 年前就已弄清，可一说到它的“排列方式”，现代数学也抓不住核心。每个问题的题面本身，都能写得很短。
| 问题名 | 一句话说 |
|---|---|
| 黎曼猜想 | 支配素数排列的“zeta 函数的零点”是否都在一条直线上 |
| 哥德巴赫猜想 | 4 以上的偶数是否都能写成两个素数之和 |
| 孪生素数猜想 | 相差为 2 的素数对是否有无穷多 |
| 奇完全数 | 真因数之和等于自身的奇数是否存在 |
| ABC 猜想 | 加法与乘法之间的法则。围绕“证明”数学界已经分裂 |
黎曼猜想从 1859 年起 160 多年未解，哥德巴赫猜想更是从 1742 年起 280 多年悬着。计算机验证方面，哥德巴赫猜想一直查到 400 亿亿这个离谱的数都没有反例。可在数学的世界里，例子堆得再多，也不构成“对所有数都成立”的证明。
简单规则与计算之谜
另一类，是关乎“操作”与“计算”的未解决问题。考拉兹猜想是像游戏规则一样的操作所生出的“无底之谜”。P 与 NP 问题则押上了计算机科学的存在本身，也是 100 万美元千禧年大奖难题之一。
| 问题名 | 一句话说 |
|---|---|
| 考拉兹猜想 | “偶数减半，奇数乘 3 加 1”是否一定回到 1 |
| P 与 NP 问题 | 确认答案快的问题，找答案是否也快 |
考拉兹猜想曾让天才埃尔德什说出“现代数学还没准备好应付这类问题”。而 P 与 NP 问题若被肯定地解开，互联网上大量的密码在道理上就会崩塌。外表之简单与后果之重大的落差，请务必在单篇文章里品一品。
物理与宇宙之谜
第三类，是跳出数学、留在现实宇宙本身里的谜。水的流动、天体的运动、宇宙的内容物。它们全都是我们脚下理所当然的存在，可理解的正中央却开着大洞。纳维–斯托克斯方程是千禧年大奖难题之一，这边也悬着 100 万美元。
| 问题名 | 一句话说 |
|---|---|
| 纳维–斯托克斯方程 | 流体方程没有“解会一直存在”的保证 |
| 三体问题 | 天体一到三个，通解消失、混沌诞生 |
| 暗物质 | 占宇宙 27% 的“看不见的东西”真身不明 |
物理之谜有着与数学猜想不同的味道：实验或观测可能突然把“答案”对出来。暗物质与暗能量的真身在明天的实验里揭晓，概率并不是零，真那样的话教科书一夜就会改写。杨–米尔斯理论是千禧年大奖难题之一，暗能量则是与暗物质成对的“宇宙最大之谜”。
| 问题名 | 一句话说 |
|---|---|
| 暗能量 | 占宇宙 68%、让膨胀加速的不明之力 |
| 杨–米尔斯理论与质量间隙 | 物理上用得上，数学地基却未完工 |
图形与方程之谜
第四类，是潜伏在形状与方程深处、抽象却构成数学核心的难题。老实说，这一类在本系列中最专业，光是抓住氛围都很费劲。即便如此，分辨宇宙形状的庞加莱猜想有手感，连着 1000 年前直角三角形之谜的 BSD 猜想也有个意外的入口。三问全是千禧年大奖难题（庞加莱是其中“唯一的已解例”）。
| 问题名 | 一句话说 |
|---|---|
| 庞加莱猜想 | 用绳圈分辨宇宙的形状。解开它的天才谢绝了荣誉与奖金 |
| BSD 猜想 | 方程的解是有限还是无限，由另一个式子预言 |
| 霍奇猜想 | 号称最难说明白的、连接图形与方程的难题 |
千禧年大奖难题，7 问全部收录
这个系列有个别的知识系列没有的招牌，那就是赏金。
2000 年，美国的克雷数学研究所把数学最重要的 7 个问题选为“千禧年大奖难题”，每问悬赏100 万美元。本系列为这 7 问全部备有单独文章，也就是上面介绍过的黎曼猜想、P 与 NP 问题、纳维–斯托克斯方程、庞加莱猜想、BSD 猜想、杨–米尔斯理论、霍奇猜想这七个。7 问中已解决的，只有俄罗斯数学家佩雷尔曼证明的庞加莱猜想一问。而且佩雷尔曼谢绝了领取奖金。
为什么砸下大钱的不是企业也不是政府，而是数学研究所？因为这些问题都是一旦解开，数学的地图就会被改写的要害。未解决问题的价值与其说在答案本身，不如说在挑战过程中诞生的新工具。费马大定理花了 360 年、于 1995 年被证明，而作为那场挑战的副产品，现代数论的主要工具接连诞生。“正是解不开的问题在推动数学”这个悖论，就是这个门类有意思的地方。
结语
本文用清单介绍了数学的著名未解决问题。
题面只有一行，却没人解得开。这道落差告诉我们，人类还只是站在数之世界的入口处。单篇文章里，我对每个问题都深入到“什么已经弄清、什么还没弄清”的最前线，请从感兴趣的问题读起。
另外，本站还以同样的形式公开了辜负直觉的“世界经典悖论”一览。品够了解不开的问题那份离谱之后，回到解得开的问题里享受一把畅快，也很推荐。
处理思维习惯的“认知偏差大全”、收集脑内假想实验的“思想实验”一览也有。当作知识串门的下酒菜正好。
数学之外，“没解开的谜”也多得很。用检验的视角读解未破译书籍与消失之人的“世界未解之谜”一览在这里。
同样辜负直觉的“逻辑谜题”一览也已公开。这一边的题目动动笔就能收尾，想让脑子换个档的时候正合适。
我们下一篇文章见。
📚 系列：数学未解决问题（1/16）