大家好，我是 Senko。 本文将解读“希尔伯特无限旅馆”悖论。
请想象一下：有一家拥有无穷多个房间的旅馆，而且所有房间都住满了。按常理，既然“客满”，新客人自然住不进来。然而，只要动点小脑筋，多少客人都能住进去。
无限旅馆的设定
这个思想实验由德国数学家大卫·希尔伯特于 1920 年代提出，设定如下。
有一家旅馆，房间号 1、2、3、4……无限延续。每个房间都住着一位客人，全部客满。
这时来了一位新客人，在前台问：“请问还有空房吗？”
普通旅馆只能回答“非常抱歉，已经客满了”，但无限旅馆的经理不一样。
让 1 位新客人入住的方法
经理向所有住客广播：
“各位客人，麻烦大家移动到‘当前房间号加 1’的房间。”
于是，1 号房的客人搬到 2 号房，2 号房的搬到 3 号房，3 号房的搬到 4 号房……所有人都挪到隔壁房间。因为房间有无穷多个，“不存在最后一个房间”，所以所有人都能顺利搬走。
结果，1 号房空出来了。新客人住了进去。
明明客满，只是让全员挪个位置，空房就出现了。有限旅馆绝对做不到的事，在无限旅馆成为可能。
让无穷多位客人入住的方法
接下来是更厉害的：如果一次来了无穷多位新客人呢？
经理换了一条广播：
“各位客人，麻烦大家移动到‘当前房间号乘以 2’的房间。”
1 号房的客人搬到 2 号房，2 号房的搬到 4 号房，3 号房的搬到 6 号房，4 号房的搬到 8 号房……
这样一来，原有住客全部住进了偶数号房间。奇数号房间（1、3、5、7……）全部空了出来。奇数有无穷多个，无穷多位新客人正好全部住下。
客满的旅馆还能追加接待无穷多人——这就是无穷所拥有的可怕柔韧性。
也有住不下的客人
那么，无限旅馆是不是什么规模的客人都接得住？其实不是。
根据康托尔的对角线论证，“实数的个数”被证明严格大于“自然数的个数”。
如果来了“和实数一样多”的客人，由于无限旅馆的房间是用自然数编号的，就不可能让所有人都住下。
也就是说，“无穷”也分等级：有无限旅馆应付得了的无穷，也有应付不了的无穷。无穷的深邃正在于此。
无穷为什么违背直觉
希尔伯特无限旅馆之所以违背直觉，是因为我们抱着有限世界的常识——“客满＝再也塞不下”。
在有限集合里，部分必定小于整体。10 个房间的旅馆拿走 5 间，就只剩 5 间。
但在无穷集合里，部分可以和整体一样大。全体偶数的个数与全体自然数的个数相同。这是与有限世界常识的决定性分歧，也是无限旅馆悖论的根源所在。
对无穷做加法与乘法
把旅馆里的操作，当作无穷之间的运算整理一下。
可数无穷的运算表
与自然数个数相同的东西被称作可数无穷。这个大小，加也好乘也好都不变。
| 操作 | 在旅馆里对应什么 | 结果 |
|---|---|---|
| 无穷 ＋ 1 | 客满时加住1人 | 仍是无穷 |
| 无穷 ＋ 有限 | 客满时加住100人 | 仍是无穷 |
| 无穷 ＋ 无穷 | 客满时来了一个无穷人的团 | 仍是无穷 |
| 无穷 × 无穷 | 无穷辆车各载无穷人抵达 | 仍是无穷 |
| 无穷 的平方 | 用两个数的组合来管房号 | 仍是无穷 |
加什么乘什么大小都不变——这份性质，正是无穷难以处理的真身。
有限的世界里，100间房的旅馆住不下101人；无穷里却住得下。这份差别，正是有限的常识不能原样搬进来的理由。
住不下的客人是什么来头
另一方面，也确实存在怎么安排都住不下的团体，就是本文前半提到的、用无穷位数字来指定房号的那批客人。
这个团体的人数，与实数的个数一样大。它是比可数无穷真正更大的无穷，被称作不可数无穷。
- 可数无穷：自然数、整数、有理数。可以编号数出来
- 不可数无穷：实数、0与1之间的数、直线上的点。编号编不完
希尔伯特旅馆住得下的，只到可数无穷为止。它用“房间够不够”这个形状，让人看见无穷之中也有越不过去的墙。
顺带一提，光是0与1之间的实数，就比全体自然数还多。长度为1的线段上所含的点，比数轴上全部的整数还多。这也是显示“无穷的大小与个数的直觉对不上”的一个例子。
希尔伯特为何要搬出这个故事
设计这家旅馆的，是代表20世纪前半叶的数学家大卫·希尔伯特。据说他在1924年的讲课中作了介绍，此后经由乔治·伽莫夫的科普书《从一到无穷大》等广为人知。
他的用意并不是让听众吃惊。当时的数学界，对康托尔带进来的无穷集合论仍残留着强烈的反弹。
批评的中心人物，是与希尔伯特老师同辈的利奥波德·克罗内克。他站在“不能实际构造出来的东西，不该成为数学的对象”这个立场上，连处理无穷集合的讨论本身都不承认。
希尔伯特对此正面反对。他留下的那句“没有人能把我们从康托尔为我们造的乐园里赶出去”，作为这场对立的象征而知名。
旅馆的故事，正是把那座乐园是什么样子展示给一般人的装置。无穷虽古怪，却能按规则一贯地处理——它不去藏起古怪，而是正面摆出来，再显示它道理讲得通。
作为处理无穷之技术的价值
这套想法并不止于抽象的把玩。
- 数点的技法：给整数与有理数编号的手续，在密码与编码的设计中实际在用
- 递归的设计：用有限的规则去描述无限延续的结构，与程序的递归是同一个形状
- 极限的处理：带无穷多项的级数与积分，被整理成可数无穷的操作
- 可计算性：程序只有可数无穷个，函数却有不可数无穷个，所以必定存在算不出来的函数
最后一条尤其见效。程序的个数与想解的问题的个数是不同大小的无穷，所以解不开的问题会留下来。
“房间够不够”这么朴素的话头，原样成了显示计算之界限的论据。区分无穷的大小，原来是有实用意义的。
数学无穷类的相关悖论
以下是与希尔伯特无限旅馆同样涉及无穷集合反直觉性质的相关悖论。
结语
本文解读了“希尔伯特无限旅馆”。
客满却能住进任意多客人——这个结论令人震撼，它告诉我们：“无穷”这个概念遵循着与日常直觉根本不同的规则。在无穷的世界里，有限世界的常识是行不通的。
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