本福特定律——世上的数字里首位是“1”的最多

大家好，我是 Senko。本文将解读潜伏在数字世界里的奇妙规律“本福特定律”。

世上充斥着各种数字，比如河流的长度、国家的人口、股价、电费、建筑的高度。若把注意力放到这些数字最左边那一位（首位数字）上，会发现一个惊人的偏斜。看上去 1 到 9 应该均匀分散才对，可实际上首位是“1”的数字压倒性地多，约占 30%，而首位是“9”的连 5% 都不到。这个反直觉的现象就是本福特定律，而它竟然还被实际用作识破会计舞弊与选举舞弊的工具。

什么是本福特定律

本福特定律（英文 Benford’s law）是这样一条统计规律：“在自然界与社会中出现的许多数值数据里，首位数字为‘1’的概率最高，而数字越大，出现在首位的概率越低。”它也被称为“首位数字定律”。

看看具体数字，你会为这份偏斜之大而吃惊。在许多数据里，首位数字出现的概率大致如下。

首位数字	出现概率
1	约 30.1%
2	约 17.6%
3	约 12.5%
4	约 9.7%
5	约 7.9%
6 到 9	合计约 22%

光是首位为 1 和 2 的数字，就占了整体的将近一半（约 48%）。若 1 到 9 均等，每个该占约 11%，可见这个偏斜相当大。而且不可思议的是，无论河流长度、人口、物理常数，还是许多公司的会计数据，这份偏斜都共通地出现。把单位从米换成英里、把货币从元换成美元，这个分布依然保持。简直像是数字世界里藏着一张自然的设计图。

为什么“1”这么多

这份偏斜是怎么产生的？用“数在增长的样子”来想，直观的理由就好懂了。

比方说，请想象你的存款从 100 万开始一点点往上涨。要从 100 万这一档（首位是 1）走到 200 万这一档（首位是 2），你得把钱翻一倍涨到 200 万。可从 900 万这一档（首位是 9）走到 1000 万这一档（首位又是 1），只要从 900 万涨到 1000 万，也就多一成左右。

也就是说，首位为“1”的区间（100 万到 200 万）很宽，会在里面待很久；而首位为“9”的区间（900 万到 1000 万）很窄，一晃就穿过去了。在数字按倍数成长的世界里，首位越小的区间，停留的时间越长。所以在某个瞬间去观察数字，首位是 1 的概率就最高。

这背后是对数这门数学。本福特定律准确地说是指出首位数字的概率由对数决定。听着也许有点难，但要点只有一条：“在按比例成长的世界里，小的数字占据着更宽的区间。”只要抓住这份直觉，为什么 1 这么多就说得通了。许多自然现象与经济活动都具有“按一定比例增减”的性质，所以这条定律才广泛成立。

识破做假账的“数字指纹”

本福特定律出名的最大理由，是它作为识破舞弊的工具真的管用。这是它最实用、也稍微有点惊险的一面。

原理是这样：老老实实记录的真实会计数据，其首位数字会按本福特定律分布。可一旦由人去编造数字，就会偏离这个自然分布。人在编造虚构金额时，会无意识地想把各个数字用得均匀，或者多用 5、6 这类不上不下的数。要人为再现“1 占三成”这份自然偏斜，出乎意料地难。

于是，把企业的会计数据或税务申报的数字收集起来考察首位分布，若明显偏离本福特定律，就可判断“有数字被操纵的嫌疑”。实际上，会计审计、税务稽查、做假账的查处中都在使用这套手法。它还被应用到选举得票数、经济统计注水的验证上，起着“数字指纹”般的作用，用来分辨数据是自然产生的，还是人手造出来的。纯数学的规律成了揭发舞弊的侦探工具，这份出人意料的实用性，我觉得正是本福特定律招人喜爱的理由。

它并不适用于任何数字

为了正确理解这条定律，我们也要把不适用的情形好好按住。本福特定律并非万能。

它适用得好的，是数字分散在很宽范围内、自然产生的数据：从几十到几百万、混着各种位数的那种，比如人口、金额、面积、物理数据等。

而对下面这类数据就不适用。首先是范围很窄、集中在固定位数上的数据。比如成年人的身高多数落在 150 到 190 厘米之间，首位确实会偏向 1，但那与本福特定律是另一种偏法。其次是由人有意分配的号码：电话号码、工号、邮政编码等并非自然产生的数字，而是按既定规则编下去的，因此不服从这条定律。不具有“按比例成长”性质的数据，定律就不成立。

理解这个“适用条件”，在实务中使用这条定律时非常重要。什么数据都想拿本福特定律去判舞弊，就会把本来就不适用的数据误判成“有舞弊”。与一切经验法则一样，只有知道它在哪里成立、在哪里不成立，才能把它当工具用对。这与本站在海因里希法则里讲的“别把数字囫囵吞下”，也是同一份要紧的姿态。

围绕本福特定律的几个疑问

是谁发现的

名字来自物理学家弗兰克·本福特，可他并不是最早的发现者。其实早在半个多世纪前的 1881 年，天文学家西蒙·纽康就注意到了同样的现象。他留意到对数表（计算用的数值书）中靠前的那些页（以 1 开头的数字部分）被手汗磨得更脏更破，从“人们查以 1 开头之数字的次数更多”这个观察抵达了这条定律。后来在 1938 年，本福特用大量实际数据加以佐证并推广，于是冠上了他的名字。把名字冠给并非最早发现者的人在科学界屡见不鲜，这件事本身也算一段有趣的轶闻。

日常生活中能自己验证吗

很容易。把手边的数字收集起来，数一数首位就行。推荐用报刊上登的数字（人口、金额、面积等）、记账本上的金额，或者新闻里出现的统计数据。收集到一定数量（几十个以上）再数首位，你就会发现以 1 开头的数字比以 9 开头的多得多。尤其是位数散得比较开的数据，定律会显现得很干净。能靠自己的手发现藏在数字世界里的奇妙规律，我觉得这是个能轻松体验数学之趣的好玩法。

舞弊的人为什么再现不出这条定律

因为人的直觉与自然的数字分布是错开的。我们在编“随便的数字”时，有无意识地想把各个数字用得均匀的癖好：越想显得随机，反而越不自然地均匀。这与本站解读过的赌徒谬误里“人造的随机序列比真正的随机更规矩”是同一种心理。要有意再现“1 竟然要用到三成”这份真实的偏斜，是非常难的。所以本福特定律在识别舞弊上才有效。人没有自己以为的那么擅长伪造“自然”，这个事实撑起了那枚数字指纹。