赌徒谬误——“也该轮到我了”为何在数学上是错的

大家好，我是 Senko。本文将解读“赌徒谬误”。

假设抛硬币连出五次正面，下一次会是哪面？多数人的直觉在低语“怎么也该轮到反面了”。轮盘连开红色就想押黑色，买彩票会避开“上次开出大奖的网点”。这份“偶然应该会反弹回来”的直觉，在数学上是彻底错误的——展示这一点的，就是赌徒谬误。

什么是赌徒谬误

赌徒谬误（英文 gambler’s fallacy）指的是对彼此独立的随机试验，误以为“因为一种结果连着出现，所以下次更容易出相反的结果”。

公平的硬币不记得过去的结果。正面连出五次之后，下一次出正面的概率仍然恰好是二分之一。连出十次、一百次也一样。“硬币没有记忆”，这就是“独立”这个词的含义。

直觉之所以还硬说“该轮到反面了”，是因为脑子里装着一个错误的模型：“偶然应该会把账找平”。既然长远看正反会趋近对半，那正面多出来的部分就该由反面补回去。而对“长远看”的这份理解，恰恰是下面要讲的要害。

蒙特卡洛黑色连开 26 次的那一夜

有一件被认为是赌徒谬误这个名字之由来的著名事件。

1913 年 8 月 18 日，摩纳哥蒙特卡洛的一家赌场里，轮盘出现了黑色连开 26 次的奇事。随着黑色一次次出现，赌桌前挤满了人——“黑色都连这么多次了，下一把必定是红”。赌注一轮比一轮大，据说从第 15 次前后起，押红的筹码就一直在堆高。

可轮盘没有记忆。黑色连开多少次，下一次出红的概率都不变。结果押注者输了个精光，据说赌场靠这一夜赚得盆满钵满。

这则轶事的教训是：恰恰是在目睹“罕见的连续”时，人被赌徒谬误驱动得最强烈。黑色连开 26 次的概率约为六千七百万分之一，是极其罕见的事，但“已经发生了的罕事”对下一次的概率没有任何影响。对罕见的惊讶，就这样直接化成了“下次该不一样了”的确信。

账是靠“稀释”找平的，不是靠“抵消”

赌徒谬误的根子，是对“大数定律”的误解。弄懂这里，这个偏差就能从根上崩掉。

大数定律保证的只有一件事：试验次数越多，正面出现的“比例”越接近 50%。它并没有保证正面的“次数”与反面的“次数”之差会缩小。

用具体数字看看。假设最开始正面连出五次。

之后再抛 1000 次，正反恰好各半（各 500 次）的话，累计是正面 505 次对反面 500 次。次数差仍是 5 次，可正面的比例已降到 50.2%，逼近 50%
之后再抛 10 万次，即便差依然是 5 次，比例也已是 50.0025%，几乎就是 50%

也就是说，偶然找平账目的方式，不是“多出几次反面把过去抵消掉”，而是“把过去的偏差埋进海量次数里稀释掉”。并不需要一段反面偏多的时期。

“该轮到反面了”这份直觉，就是把“稀释”错当成了“抵消”。卡尼曼与特沃斯基带着讽刺把这种错认叫作“小数定律”：人会期待连很短的序列里也显现出“整体上对半”的性质。正正正正正这样的序列之所以让人觉得“不像是偶然”，是因为我们心目中偶然的样子，比真正的偶然要规矩、要交替得多。

裁判与审核员也输给了“该轮到了”

赌徒谬误在赌场之外照样起作用，而且就发生在本该公平的专业判断之中。

经济学家陈等人 2016 年发表的研究，大规模分析了三类专业人士的判断记录，结果全都指向同一个方向。

棒球裁判：判决界线球时，刚判过好球之后，即便是类似的球路，判成坏球的概率也会上升
贷款审核员：刚批准过上一笔之后，更容易否决下一笔
难民身份审核员：连着认定几件之后，更容易驳回下一份申请

裁判与审核员本该逐件独立判断。可“好球不可能连这么多”“一直批准也不像话”这种感觉，无意识地把判定往反方向掰。也就是说，推动结论的不是眼前这件事的内容，而是此前那一串“排列”。

正如这项研究所示，赌徒谬误不是赌博的话题，而是人一看到“连续”就想去补偿的普遍癖好。招聘面试中好候选人连着出现之后，对下一位的评价是否无意识地严了？质检中合格连着出现之后，是否开始想判一个不合格？在本该独立判断的场合，一切“该轮到了”都是这个偏差的嫌疑犯。

彩票、投资、孩子的性别

彩票与数字型游戏中，专挑“最近没开过的号码”是常见买法，可摇奖机没有记忆，每个号码每次的概率都一样。反过来专挑“常开的号码”，只要机器公平，也同样没有意义（若机器有偏差另当别论，但在现代抽奖里要发现它基本无望）。

投资上，“都跌这么久了，该反弹了”是赌徒谬误的典型。要留意的是，股价并非完全独立的试验，情况会更复杂。即便如此有一点不变：“下跌的天数”本身不能作为反弹的依据。要预测反弹，需要业绩、供需这类内容上的依据，“该轮到了”不是依据。

孩子的性别上，也常听到“连生三个女孩，下一个该是男孩”的期待，可每次生产的性别基本独立，概率每次都接近对半。

各种抽奖活动同理。只要是概率抽取，“久没中之后就该中了”这种感觉就没有统计上的支撑；反倒是这份感觉，成了越陷越深去追加投入的燃料。

对策是问“它们是独立的，还是连着的”

对付赌徒谬误的办法，可以归结为一个问题。

“过去的结果，对下一次的结果有物理上的影响吗？”

硬币、轮盘、彩票、抽奖——答案若是否，那过去的排列就不能用于预测下一次。感到“该轮到了”的时候，那就是你正相信硬币有记忆的状态，请这样提醒自己。

另一方面，也有答案为是的场合。从牌堆里抽走不放回的扑克，已出的牌确实会改变后续的概率（算牌之所以成立就是这个道理）。运动员的状态、机器的老化、天气也是如此。只要你能具体说明连接的机制，过去就是信息。而说不出机制却感觉到“趋势”或“手气”，那就站在偏差这一边了。

实务上，下面的检查很有效。

连续做判断的工作中，留意“上一件的结果有没有混进当下的判断”（可能的话把判断顺序打乱）
快要以“该轮到了”为依据决定什么时，试着用数字说明这个“该”的内容
脑中浮现“把本捞回来”这个词时，要知道那是损失规避而不是概率在说话

手热效应与彩票网点又如何

“手热（正在状态上）”也是谬误吗

这里有段有意思的历史。篮球里“连续投进的球员下一球也更容易进”这种感觉被称为“手热效应”，1985 年一项著名研究断定它“是错觉”——把连续成功看作实力的波动，被认为是与赌徒谬误方向相反的错觉。可 2010 年代的重新分析发现原研究的统计方法存在偏差，实际上存在微小的手热效应这一可能性变得有力。投篮可以经由球员的状态而相互关联（并不独立），所以这说得通。教训是要做区分：独立的机器抽奖没有手气，人的表现却可能有波动。

它和均值回归有什么不同

这是最容易混淆的一对。赌徒谬误是对独立试验期待“反弹”的错误（硬币不会回头）；均值回归则是在实力与运气混合的结果中，极端值之后更容易出现靠近平均之值的正确统计现象（考了高分之后，运气那部分会往平均回落）。也就是说，认为“会回去”，在硬币上是错的，在“实力＋运气”的系统里是对的。对象是纯粹的独立运气，还是掺了实力的系统，同一份直觉的对错就会反转。

在“上次开出头奖的网点”买是对的吗

只要抽奖公平，在哪个网点买中奖概率都一样。“开过的网点不会再开”（赌徒谬误）与“开过的网点更容易中”（错误套用手热效应）都没有依据。不过有一个分母上的把戏值得察觉：“销量大的网点，中奖注数看起来也多”。名网点之所以频出大奖，只是因为那里卖得多，单张的概率并没有变。幸存者偏差那篇里写的“确认分母”，在这里同样管用。