黎曼猜想——悬赏 100 万美元的“素数设计图”之谜

大家好，我是 Senko。本文将解读被称为数学最大未解决问题的“黎曼猜想”。

2、3、5、7、11、13……素数的排列怎么看都没有规律，能告诉我们下一个素数出现在哪里的公式，至今并不存在。可 1859 年，德国数学家黎曼在一篇仅 8 页的论文里指出：在这看似胡乱的排列背后，或许藏着一张精密到吓人的设计图。主张这张设计图完美无缺的，就是黎曼猜想。160 多年过去它仍未解决，证明它可获得100 万美元奖金。

素数到底有多“胡来”

理解黎曼猜想的入口，是素数那份让人头疼的性质。素数是只能被 1 和自身整除的、大于等于 2 的数，相当于所有数的零件——因为任何数都能分解成素数的乘积（12 就是 2×2×3）。

既然是零件，人们自然希望它排得整整齐齐，可实际的素数很任性。3 和 5、11 和 13 这样紧挨着出现，转头又能安静好一阵子。100 以内有 25 个素数，数越大素数越稀疏，但没人握有能断言“下一个素数出现在这里”的式子。

不过退一步看，风景就变了。即便单个素数的位置无法预测，“到某个数为止大约有多少个素数”这种作为集体的行为，却意外地落在一条平滑的曲线上。19 世纪末，近似这个个数的“素数定理”被证明了。问题在于，那个近似的误差到底有多小。其实，黎曼猜想可以换句话说成是关于这个误差的猜想。

用具体数字找找感觉。100 万以内有 78,498 个素数。素数定理最朴素的近似式给出约 72,382 个，偏得有点多；而改良版的近似（对数积分）给出约 78,628 个，在 100 万个里只差了 130 个。黎曼猜想主张的是：无论数变得多大，这类误差都会一直被压在“规模的平方根左右”这个理论上几乎最小的水平。猜想一旦崩塌，就意味着在某个规模上，误差会失控地乱来。

8 页论文埋下的定时炸弹

1859 年，波恩哈德·黎曼向柏林科学院提交了题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。他一生中数论方面的论文只有这一篇，而且仅 8 页。在文中，黎曼以ζ函数为线索，导出了表示素数个数的式子。

ζ函数由 1＋1/2＋1/3＋…… 这样的无穷加法（各项取若干次幂后）构成。乍看与素数毫无关系，可经欧拉发现的变形，这个函数能被改写成遍历所有素数的乘积。也就是说，ζ函数是把素数信息整个压缩进去的一座数据库。

黎曼指出的是，这座数据库的钥匙在于“ζ函数取值为零的点（零点）”。只要知道零点的位置，素数个数式子的误差就被完全确定。而当他把零点像地图一样画到平面上时，注意到算得出来的那几个零点全都排在一条竖直的直线上，于是留下了这样一句话：“所有零点都在这条直线上，是极为可能的。我曾尝试证明，但暂且将这一尝试搁置。”这一句，成了持续 160 多年的定时炸弹。

直线上 10 万亿个，一个例外也没有

零点在地图上的“横向位置”，数学上称为“实部”。用这个词，黎曼猜想的主张就是一行字。

ζ函数的（非平凡）零点，其横向位置（实部）全都在 1/2 这条直线上。

这条直线被称为“临界线”。猜想若成立，就保证了素数个数与素数定理近似式的偏差不超过理论上最小的误差，素数的排列也就被确定为“看着胡来，其实规矩得不能再规矩”。反过来，只要找到一个偏离这条直线的零点，猜想就崩了，素数世界里就存在意料之外的紊乱。

挑战证明的历史，本身就是数论的历史。1914 年，英国的哈代证明了临界线上存在无穷多个零点。1989 年，康瑞又证明了至少四成的零点位于临界线上。计算机验证方面，已确认超过 10 万亿个零点全都在临界线上。反例为零，旁证压倒性地充分。

即便如此，数学家不会满足于“几乎可以确定”。1900 年希尔伯特把它选入“数学的 23 个问题”，2000 年它又被克雷数学研究所选为“千禧年大奖难题”、挂上 100 万美元，可至今没人来领。据传希尔伯特说过：“如果我睡上 500 年后醒来，第一件事就是问黎曼猜想证明了没有。”

为什么一个猜想有这么重的分量

黎曼猜想被称作“数学最大”，不是因为奖金。理由主要有两个。

第一，有海量的数学建在这个猜想之上。数论里有几百条定理是以“假定黎曼猜想成立”为条件证明的。猜想一旦被证明，它们就会齐刷刷升格为无条件的定理；反过来若出现反例，整栋楼都会塌。现代数论的状态，是先在黎曼猜想这块尚未确认的地基上把城市建了起来。

第二，是与意想不到的领域相连。1970 年代，人们惊人地发现，ζ函数零点间距的统计，“与重原子核能级的统计一致”（这段轶事以蒙哥马利与戴森的一次喝茶闲聊而闻名）。素数这个纯数学对象，竟服从与量子物理相同的统计。这种联系的含义至今未明，用物理工具攻打黎曼猜想的研究仍在继续。

再补充一点，零点还有个诗意的别名叫“素数的音乐”。数学上，每一个零点都对应着构成素数个数阶梯图的一个“波”，把所有零点的波叠加起来，素数的阶梯就会被严丝合缝地复原。ζ函数的零点，可以说是构成“素数”这首曲子的纯音一览表。

我自己觉得，这个猜想最大的魅力在于“看似紊乱之物的深处存在秩序”这一世界观本身。在看着像股价走势的素数分布背后，零点一丝不乱地列着队。最先幻视到这幅光景的黎曼，那份直觉说实话让我起鸡皮疙瘩。

证明之后，密码会被破解吗

关于黎曼猜想必定会出现的疑问，一并回答。

说互联网的密码会变危险，是真的吗

一半是误解。网络上使用的 RSA 加密，其安全性依赖于“大数的素因数分解很难”，而黎曼猜想是关于素数分布的主张，就算被证明，素因数分解也不会因此变快。“猜想一被证明密码立刻被破”这种坊间说法跳跃太大。不过，如果在证明过程中人们对素数的理解发生根本性加深，长期波及到密码学研究的可能性也不能否认。“不是明天的危机，但也并非无关”——大概是这个位置最准确。