秘书问题——先放过前 37% 在数学上最强的面试法则

大家好，我是 Senko。本文将解读概率谜题里的实用派王牌“秘书问题”。

为了录用一名秘书，要一个一个地面试 100 位候选人。可规则很严苛：面试完必须当场决定录不录，一旦拒绝就再也不能回头录用。下一位是不是比迄今为止的都优秀，不见面就不知道。在这个条件下，要把选中“全员之中最好的那一位”的概率做到最大，该怎么办？数学给出的答案带着一个奇妙具体的数字：“前 37 位无条件放过”。

秘书问题是什么

秘书问题（英语 secretary problem），是追问在信息越收集、选项越减少的处境里，何时该停止探索并做决断的谜题。在数学上它是最优停止问题这个领域的招牌题。先把规则整理一下。

候选人 n 位。按随机顺序一位一位面试
一经面试，就能准确知道他与此前见过的人之间的优劣（名次）
取舍当场定。拒绝掉的人再也叫不回来
只能录用一位。目标是选中“n 人之中最好的那一位”。第二名以下都算失败

这套规则把两难纯培养了出来。定得早就错过还没见到的人才，等得久又早已把最好的那位拒掉了。可以说，它把谁都在找房、淘二手货乃至相亲时尝过的那份焦虑，搬上了数学的擂台。

答案是“放过 37%，之后一出现历史最佳就立刻录用”

最优策略的形状单纯得惊人。

最初约 37%（n÷e 人。100 人就是 37 人）无论多优秀都不录用，放过去。此后，一旦出现“胜过此前所有人的人”，立刻录用。

前面那 37% 可以说是用来建立标准的试映会。在这里养出行情感，后半就扑向“第一个超过试映会最高分的人”。而漂亮的是，用这个策略选中最好那一位的概率，无论候选人有多少，都是约 37%（准确说是 1÷e，约 36.8%）。放过的比例与成功率同为 37% 这个漂亮的巧合，来自自然对数底 e 的性质。

从 100 人里只挑 1 人，还是不能回头的一次性对决。乱选成功率只有 1% 的这场游戏，能把胜率拉到接近四成，我觉得挺像魔法的。

用 3 个人的例子验证它的最优性

37% 这个数字的功德，用最小的例子验一下。候选人有 3 位时，实质上可取的策略有 3 种。优劣的排列顺序有 6 种，各策略选中最好者的概率如下。

策略	内容	成功概率
立刻定	无条件录用第 1 位	2/6（约 33%）
放过 1 位	第 1 位放过，此后出现历史最佳就录用	3/6（50%）
等太久	一直等到第 3 位再录用	2/6（约 33%）

仅仅把第 1 位当作标准，成功率就从 33% 跳到 50%。比如来的顺序是第二名→第一名→第三名时，多亏第 1 位的“第二名”成了标准，第 2 位的第一名一出现，就能判断出“这是历史最佳”并拿下。

候选人变多，这个“放过的最优比例”会收敛到 37%。放过太少，标准太松，会扑向平庸之辈；放过太多，又会把最好的那位耗在建标准上。这份平衡点恰好落在 1÷e，正是这道题的数学核心。

为什么自然对数的底 e 会露脸，这里只讲直觉。这个策略成功，大致上是在“最好的人来在放过阶段之后，且在他之前出现的人里最好的那位落在放过阶段之内”的时候。把这个概率写成放过比例的式子，会得到含对数的式子，求使它最大的比例，答案就是 1÷e。放过的比例与那时的成功率齐齐同为 1÷e（约 36.8%），这不是偶然，而是这个式子的形状本身带来的必然。

加德纳的专栏与开普勒的再婚

秘书问题的来历稍有些纠缠。据说 1950 年代它已在数学家之间以“未婚妻问题”之类的名字口耳相传，变成铅字而出名，是在1960 年 2 月马丁·加德纳的招牌专栏《数学游戏》介绍之后。此后 1960 年代给出了严格解，它成了最优停止理论这一领域的起点。究竟谁最先解开它，这段历史本身也有争论，1989 年甚至写出过题为“是谁解开了秘书问题？”的论文。

作为历史的点缀常被讲起的，是天文学家约翰内斯·开普勒的再婚。1611 年丧妻的开普勒，花了两年与 11 位再婚候选人反复面谈，苦恼到最后选了第 5 位女性。他在给友人的信里细细留下了经过，可以说 400 年前他就活在“按顺序考察不能回头的选择”这个秘书问题本身的处境里。顺带一提，11 人的 37% 约是 4 人。理论答案“放过 4 人，之后取历史最佳”与实际被选中的第 5 位，偶然地离得很近。

用在现实生活里的注意事项

秘书问题作为“算法式思维”的代表例，应用的说法已扩展到找房、挑停车位乃至相亲。不过在用之前，得先确认数学的前提与现实的差别。

第一，这个模型的目标极端：“除最好的那一位之外全算失败”。现实中第二名也常常足够幸福，把目标放宽成“进前 10% 就算成功”，该放过的比例会小得多，成功率会大幅上升。仅仅不再完美主义，游戏就一下子变轻松。

第二，现实里既可能回头找被拒的对方，也可能反过来被对方拒。有回头余地时，早定的理由就变弱；有被拒可能时，就必须早点出手。模型一变，最优的放过比例也会变。

近年它常被当作把算法思路用于人生选择的书籍的招牌例子介绍，“找房前一个月不定，只养行情感”这样的用法广为人知。即便如此，我觉得这道谜题给出的本质教训在现实生活里是通用的，那就是：探索有“建立标准”这个明确的职责，而这份职责应当先定好结束的时刻。一直“说不定还有更好的房子”地找下去，从数学上看也是亏本的策略。先定下最初几处不买、用来养行情感，此后一超过标准就定。光是握着这个型，决断的质量就会不同。