大家好，我是 Senko。 本文将解读“圣彼得堡悖论”。
如果某个游戏的期望值在数学上是无穷大，你愿意付多少参加费？一万？一百万？一个亿？理论上“付多少都不亏”，可实际上，大多数人只肯掏几块到几十块钱。这份直觉与理论的落差，正是这个自 1713 年提出以来被争论了三百多年的悖论的核心。
游戏规则
规则非常简单。
抛硬币，第一次抛出正面时游戏结束。奖金由“第几次抛出正面”决定。
- 第 1 次正面 → 奖金 2 元
- 第 2 次正面 → 奖金 4 元
- 第 3 次正面 → 奖金 8 元
- 第 4 次正面 → 奖金 16 元
- 第 n 次正面 → 奖金 2^n 元
正面出现得越晚，奖金就翻倍地增长。
算一算期望值
期望值是把游戏重复无数次时的平均收益。
- 第 1 次就出正面的概率是 1/2，奖金 2 元 → 贡献：1/2 × 2 = 1 元
- 第 2 次才出正面的概率是 1/4，奖金 4 元 → 贡献：1/4 × 4 = 1 元
- 第 3 次才出正面的概率是 1/8，奖金 8 元 → 贡献：1/8 × 8 = 1 元
- ……
每一步对期望值的贡献都是 1 元，而且无限延续，所以期望值 = 1 + 1 + 1 + 1 + …… = 无穷大。
期望值无穷大，意味着理论上不管参加费是一百万还是一个亿，“从长远看都是赚的”。可现实中，肯为这个游戏掏一个亿的人恐怕一个也没有。
直觉为什么说“不想付”
冷静想想，理由有好几条。
首先，高额奖金出现的概率极低。连续 20 次反面的概率约为一百万分之一。也就是说，想拿到超过一百万的奖金，需要百万分之一级别的好运。
绝大多数情况下（75% 的概率），奖金不超过 4 元就结束了。哪怕参加费只有 100 元，四回里有三回都是亏的。
期望值之所以无穷大，是因为“以天文数字般低的概率获得天文数字般奖金的可能性”在拉高它。而普通人的一生中，几乎不可能等到与期望值相符的结果。
伯努利的解法：效用理论
最早为这个悖论提出解法的，是瑞士数学家丹尼尔·伯努利（1738 年在圣彼得堡科学院发表——悖论因此得名）。
伯努利主张：人并不依据“金额”本身，而是依据金额带来的“效用（满足感）”做判断。
对拥有一百万的人来说，再得到一百万的喜悦，与拥有一个亿的人再得到一百万的喜悦并不相同。金钱的效用随金额增长而递减（大致按对数增长）。
如果用效用（比如金额的对数）代替金额来计算期望值，期望值就会收敛于有限值。这样一来，参加费也就有了上限，悖论得以化解。
争论延续至今
伯努利的效用理论作为悖论的一种解答被广泛接受，但并不算彻底解决。因为只要把奖金修改成以效用不递减的速度增长，悖论就会卷土重来。
在现代经济学与决策理论中，这个悖论从“风险规避”“有限的寿命”“边际效用递减”等多个角度被继续讨论。
只凭期望值做决策并不充分——这也许是这个悖论留下的最重要教训。
结语
本文解读了“圣彼得堡悖论”。
这个三百年前提出的悖论，凸显了概率论与人类决策之间的鸿沟。期望值无穷大也不想掏钱——或许，反而是人类的判断更合理。
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📚 系列：世界经典悖论（23/57）
