圣彼得堡悖论——期望值无穷大的游戏，你愿意付多少钱？

大家好，我是 Senko。 本文将解读“圣彼得堡悖论”。

如果某个游戏的期望值在数学上是无穷大，你愿意付多少参加费？一万？一百万？一个亿？理论上“付多少都不亏”，可实际上，大多数人只肯掏几块到几十块钱。这份直觉与理论的落差，正是这个自 1713 年提出以来被争论了三百多年的悖论的核心。

游戏规则

规则非常简单。

抛硬币，第一次抛出正面时游戏结束。奖金由“第几次抛出正面”决定。

• 第 1 次正面 → 奖金 2 元
• 第 2 次正面 → 奖金 4 元
• 第 3 次正面 → 奖金 8 元
• 第 4 次正面 → 奖金 16 元
• 第 n 次正面 → 奖金 2^n 元

正面出现得越晚，奖金就翻倍地增长。

算一算期望值

期望值是把游戏重复无数次时的平均收益。

• 第 1 次就出正面的概率是 1/2，奖金 2 元 → 贡献：1/2 × 2 = 1 元
• 第 2 次才出正面的概率是 1/4，奖金 4 元 → 贡献：1/4 × 4 = 1 元
• 第 3 次才出正面的概率是 1/8，奖金 8 元 → 贡献：1/8 × 8 = 1 元
• ……

每一步对期望值的贡献都是 1 元，而且无限延续，所以期望值 = 1 + 1 + 1 + 1 + …… = 无穷大。

期望值无穷大，意味着理论上不管参加费是一百万还是一个亿，“从长远看都是赚的”。可现实中，肯为这个游戏掏一个亿的人恐怕一个也没有。

直觉为什么说“不想付”

冷静想想，理由有好几条。

首先，高额奖金出现的概率极低。连续 20 次反面的概率约为一百万分之一。也就是说，想拿到超过一百万的奖金，需要百万分之一级别的好运。

绝大多数情况下（75% 的概率），奖金不超过 4 元就结束了。哪怕参加费只有 100 元，四回里有三回都是亏的。

期望值之所以无穷大，是因为“以天文数字般低的概率获得天文数字般奖金的可能性”在拉高它。而普通人的一生中，几乎不可能等到与期望值相符的结果。

伯努利的解法：效用理论

最早为这个悖论提出解法的，是瑞士数学家丹尼尔·伯努利（1738 年在圣彼得堡科学院发表——悖论因此得名）。

伯努利主张：人并不依据“金额”本身，而是依据金额带来的“效用（满足感）”做判断。

对拥有一百万的人来说，再得到一百万的喜悦，与拥有一个亿的人再得到一百万的喜悦并不相同。金钱的效用随金额增长而递减（大致按对数增长）。

如果用效用（比如金额的对数）代替金额来计算期望值，期望值就会收敛于有限值。这样一来，参加费也就有了上限，悖论得以化解。

争论延续至今

伯努利的效用理论作为悖论的一种解答被广泛接受，但并不算彻底解决。因为只要把奖金修改成以效用不递减的速度增长，悖论就会卷土重来。

在现代经济学与决策理论中，这个悖论从“风险规避”“有限的寿命”“边际效用递减”等多个角度被继续讨论。

只凭期望值做决策并不充分——这也许是这个悖论留下的最重要教训。

现实的赌局里期望值是有限的

期望值成为无穷大，前提是“庄家付得起任意多的钱”。把这条前提拿掉，答案就整个变了。

以庄家的资金为上限重算一遍，付得出的期望值大致是下面这样。

资金翻一千倍，期望值也只增加5元。它只按对数增长，所以在现实的范围里至多不过几十元。

也就是说，“期望值无穷大”是数学上的话；在实际成立得了的赌局里，它是有限的，而且相当小。

直觉之所以说“不想付那么多”，也可以解释成：人无意识地把庄家的支付能力算了进去。这个想法由经济学家卡尔·门格尔在1934年指出，被视作有力的解法之一。

用效用递减去说明时的界限

伯努利的效用理论所给的解法，也有已知的弱点。

假定对数效用，期望效用就成了有限；可只要造一个奖金增长更陡的赌局，对数效用下期望效用也照样会发散。

• 原来的赌局：奖金按2的幂增长，对数效用下收在有限
• 改造的赌局：奖金按指数的指数增长，对数效用下也发散
• 结论：只要效用函数没有上限，同样的问题就能被重造出来

这是1960年代保罗·萨缪尔森等人整理出的论点，人称“超圣彼得堡悖论”。

假定效用有上限就能回避，可这样一来又冒出另一个问题：“人的满足真有天花板吗”。

三百年前的问题至今仍载在决策理论的教科书上，理由就在这里：每当看着像解决了，问题就以更强一级的形式回来。

人实际上愿意付多少

抛开理论，也有调查人实际愿意付多少的实验。

多项研究共通的结果是：出价的中位数大体落在几百元到几千元之间。就算给人讲了期望值是无穷大，也不会大动。

第三行有意思：真去玩一玩，绝大多数回合奖金都只有几元到几十元，于是支付意愿就降了下来。

• 奖金在4元以下就结束的概率：大致四分之三
• 奖金超过1024元的概率：不到千分之一
• 撑着期望值的那部分：几乎不会发生的超高额那一侧

造出期望值的，是活着的时候基本不会发生的事件——这正是它与直觉对不上的真身。

有些场面期望值用不了

能从这个悖论里抽出的实务教训，是期望值并非万能的指标。

在同一场赌局能重复足够多次时，期望值是可信的，因为大数定律会起作用。

可在下面这些场面里，只看期望值就会判断失误。

• 只能试一次：没有向平均靠拢的机会
• 分布的尾巴极长：罕见事件支配着期望值
• 存在破产的可能：中途资金耗尽，后面的回合就参加不了

第三条尤其要紧，它也正是凯利公式这类资金管理想法诞生的背景。

期望值为正，若一直押上全部资金，迟早也会破产。“平均下来划算”与“对我划算”是两回事——无论在投资还是在事业上，我都把这一点看作最要紧的地方。

理性选择的相关悖论

以下是与圣彼得堡悖论同样、期望值与实际选择错开的相关悖论。

结语

本文解读了“圣彼得堡悖论”。

这个三百年前提出的悖论，凸显了概率论与人类决策之间的鸿沟。期望值无穷大也不想掏钱——或许，反而是人类的判断更合理。

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