大家好，我是 Senko。 本文将解读“伯特兰悖论”。
“随机选一个”是我们日常挂在嘴边的话，可这句话的含义其实并不唯一。同一个问题，只要改变“随机”的定义，答案就能变成 1/3、1/2 或 1/4。
问题的设定
这是法国数学家约瑟夫·伯特兰于 1889 年提出的问题。
有一个圆，圆内接着一个正三角形。现在“随机地画一条弦”，这条弦比正三角形的一条边更长的概率是多少？
直觉上答案应该是唯一的，可是把“随机画弦”的方法分成三种来看，答案却各不相同。
方法 1：随机选端点（答案：1/3）
固定圆周上的一点，再从圆周上随机选另一点，连成弦。
把正三角形的顶点作为固定点时，弦比三角形的边长，只在另一端点落在固定点对边所对的弧（圆周的 1/3 部分）上时才成立。
因此概率是 1/3。
方法 2：在半径上随机选中点（答案：1/2）
在某条半径上随机取一点作为弦的中点。
弦比三角形的边长，当且仅当弦的中点到圆心的距离不超过半径的 1/2。在半径上均匀随机选点时，满足条件的概率是 1/2。
方法 3：在圆内随机选中点（答案：1/4）
在圆的内部随机选一点作为弦的中点。
弦比三角形的边长，当且仅当中点落在以圆心为中心、半径为原来一半的小圆内部。小圆的面积是大圆的 1/4，所以概率是 1/4。
同一个问题，答案却不同
三种方法解的都是“在圆内随机画弦”这同一个问题，答案却分别是 1/3、1/2、1/4。
每种方法本身的计算都没有错。问题在于，“随机画弦”这一操作的定义并不唯一。
“随机选端点”“在半径上随机选位置”“按面积随机选位置”各自定义了不同的概率分布，自然产生不同的答案。
有没有正确答案
一般观点认为伯特兰悖论“没有正确答案”，但也有更深入的讨论。
数学家 E.T. 杰恩斯于 1973 年主张：可以依据物理对称性的要求，确定“正确的”概率分布。他要求选弦的方法满足以下条件：
- “旋转不变性”：旋转圆，概率不变
- “尺度不变性”：改变圆的大小，概率不变
- “平移不变性”：移动圆的位置，概率不变
同时满足这些条件的选弦方式对应方法 3（在圆内均匀选中点），答案是 1/4——这是杰恩斯的论证。据报告，投掷细针的物理实验也得到了接近这一结果的数值。
不过，这个“解决”是靠给问题附加物理条件才成立的。纯数学上问题不确定这一事实本身，并没有改变。
这个悖论的意义
伯特兰悖论告诉我们：在概率问题中，不明确“随机”的定义，问题本身就是不完整的。
日常说“随机选”的时候，我们其实默认了某种概率分布。而这种默认因人而异，同一个问题因此得出不同的答案。
对现代统计学和数据科学来说，这个教训极其重要。说“随机抽样用户”时，是从活跃用户里抽，从全体注册用户里抽，还是按访问次数加权抽？结果会大不相同。“到底把什么随机化”一旦含糊，结果的解读就会出错——伯特兰悖论早在将近 140 年前就演示了这一点。
结语
本文解读了“伯特兰悖论”。
“随机”绝不是不言自明的概念——这个悖论把这一点展示得淋漓尽致。要正确地运用概率，严格定义前提条件必不可少。
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我们下一篇文章见。
📚 系列：世界经典悖论（26/57）
