伯特兰悖论——“随机”的定义不同，概率就不同

大家好，我是 Senko。 本文将解读“伯特兰悖论”。

“随机选一个”是我们日常挂在嘴边的话，可这句话的含义其实并不唯一。同一个问题，只要改变“随机”的定义，答案就能变成 1/3、1/2 或 1/4。

问题的设定

这是法国数学家约瑟夫·伯特兰于 1889 年提出的问题。

有一个圆，圆内接着一个正三角形。现在“随机地画一条弦”，这条弦比正三角形的一条边更长的概率是多少？

直觉上答案应该是唯一的，可是把“随机画弦”的方法分成三种来看，答案却各不相同。

方法 1：随机选端点（答案：1/3）

固定圆周上的一点，再从圆周上随机选另一点，连成弦。

把正三角形的顶点作为固定点时，弦比三角形的边长，只在另一端点落在固定点对边所对的弧（圆周的 1/3 部分）上时才成立。

因此概率是 1/3。

方法 2：在半径上随机选中点（答案：1/2）

在某条半径上随机取一点作为弦的中点。

弦比三角形的边长，当且仅当弦的中点到圆心的距离不超过半径的 1/2。在半径上均匀随机选点时，满足条件的概率是 1/2。

方法 3：在圆内随机选中点（答案：1/4）

在圆的内部随机选一点作为弦的中点。

弦比三角形的边长，当且仅当中点落在以圆心为中心、半径为原来一半的小圆内部。小圆的面积是大圆的 1/4，所以概率是 1/4。

同一个问题，答案却不同

三种方法解的都是“在圆内随机画弦”这同一个问题，答案却分别是 1/3、1/2、1/4。

每种方法本身的计算都没有错。问题在于，“随机画弦”这一操作的定义并不唯一。

“随机选端点”“在半径上随机选位置”“按面积随机选位置”各自定义了不同的概率分布，自然产生不同的答案。

有没有正确答案

一般观点认为伯特兰悖论“没有正确答案”，但也有更深入的讨论。

数学家 E.T. 杰恩斯于 1973 年主张：可以依据物理对称性的要求，确定“正确的”概率分布。他要求选弦的方法满足以下条件：

1. “旋转不变性”：旋转圆，概率不变
2. “尺度不变性”：改变圆的大小，概率不变
3. “平移不变性”：移动圆的位置，概率不变

同时满足这些条件的选弦方式对应方法 3（在圆内均匀选中点），答案是 1/4——这是杰恩斯的论证。据报告，投掷细针的物理实验也得到了接近这一结果的数值。

不过，这个“解决”是靠给问题附加物理条件才成立的。纯数学上问题不确定这一事实本身，并没有改变。

这个悖论的意义

伯特兰悖论告诉我们：在概率问题中，不明确“随机”的定义，问题本身就是不完整的。

日常说“随机选”的时候，我们其实默认了某种概率分布。而这种默认因人而异，同一个问题因此得出不同的答案。

对现代统计学和数据科学来说，这个教训极其重要。说“随机抽样用户”时，是从活跃用户里抽，从全体注册用户里抽，还是按访问次数加权抽？结果会大不相同。“到底把什么随机化”一旦含糊，结果的解读就会出错——伯特兰悖论早在将近 140 年前就演示了这一点。

它连着统计学的根本问题

这个悖论不是几何上的余兴，它直接连着统计学中心的一场论争。

在没有任何信息的状态下，认为哪个值都同样可能。可一想把“无信息”这个状态写成数式，就必定撞上同一堵墙。

比如已知某个正方形的边长在1到2之间。因为没有任何信息，认为边长在1到2上均匀散布，看着很自然。

可换成用面积来想，面积在1到4之间。若也认为它均匀散布，就会得到与按边长取均匀时不同的分布。

• 边长在1.5以下的概率：按边长均匀则为50%
• 面积在2.25以下的概率：按面积均匀则约为42%

两者指的明明都是“边长在1.5以下”，数值却对不上。

原因与贝特朗的弦完全一样：“均匀”这个词，不先定下按哪个量去量，就没有意义。

这个问题以无差别原理的难点而知名，成了贝叶斯统计中围绕先验分布如何选取的长久讨论的起点。实务上会采取一道叫敏感性分析的手续——用多个先验分布计算，看结论会不会变。

“不放下前提就谈不了概率”——贝特朗用一根弦显示出的这条限制，一百五十年后的今天，用统计的人仍在与它打交道。

把三种方法并排来比

答案会分裂的理由，按各方法的前提整理一下。

三者都忠实于“随机地画一条弦”这句话，可要把什么散布均匀，各不相同。

方法2与方法3的差别最好懂：把到圆心的距离取均匀，外侧就变稀；把面积取均匀，外侧就变浓。圆的面积与半径的平方成正比，所以同样宽的一圈，越靠外越大。

换句话说，“随机”这个词，要先指定“在哪套坐标下均匀”才有意义。不指定，答案就定不下来。

杰恩斯提出的了断办法

针对这个悖论，有一段能在特定条件下把答案收成一个的论证，由物理学家埃德温·杰恩斯在1973年提出。

他带进来的想法是：“题目没有指定的东西，不该影响结果”。

题面上既没写圆心在哪里，也没写大小是多少。既然如此，就该放下这样一条要求：把圆平移也好、放大缩小也好，概率都不该变。

• 旋转后不变：三种方法都满足
• 缩放后不变：只有方法2满足
• 平移后不变：只有方法2满足

加上这三条，活下来的只有方法2的1/2。杰恩斯还实际显示，把细棒随机投向圆的实验里，出来的值也接近1/2。

话虽如此，问题并没有就此完全解决，因为“对未指定的变换应当不变”这条要求本身就是一条追加的假定，题面上并没有写。

要把答案定成一个，必定得从题面之外搬点什么进来。贝特朗悖论至今仍被谈起，我想正是因为逃不开这个结构。

日常生活里说“随机选取”时，我们暗暗设想着某种概率分布；可那份暗暗的设想因人而异，于是同一个问题就会出不同的答案。

在当代的统计学与数据科学里，这条教训极为要紧。说一句“随机抽取用户”，是从活跃用户里选、从全部注册用户里选，还是按访问次数成比例地选，结果会差得很远。贝特朗悖论在将近一百四十年前就显示出：把“要让什么随机”含混着，就会读错结果。

提出者约瑟夫·贝特朗

在1889年的著作《概率的计算》中提出这个悖论的，是法国数学家约瑟夫·贝特朗。

他当时在数论与微分几何领域已有建树，在巴黎高等师范学校任教，关于素数的贝特朗假设也留着他的名字。

有意思的是，他并不是把这个问题当作“解不开的难题”端出来的。在书中的处理是一句警告：处理概率时不可把问题的设定弄得含混。

也就是说，对贝特朗本人而言，这不是矛盾，而是一条注意事项。答案出了三个，是题面的不完备，不是概率论的缺陷。

此后这个问题之所以被长久争论，是因为“那么，怎样才能把设定定成唯一”这一问没有简单的答案。作为警告写下的东西，被那些想遵守警告的人养成了难题。

另外，统计学教科书里提到的贝特朗问题还有一个，就是前面提到的三个盒子的问题。它至今仍作为条件概率的教材被广泛使用。

违背概率直觉的相关悖论

以下是与贝特朗悖论同样、概率的处理方式与直觉相左的相关悖论。

结语

本文解读了“伯特兰悖论”。

“随机”绝不是不言自明的概念——这个悖论把这一点展示得淋漓尽致。要正确地运用概率，严格定义前提条件必不可少。

想返回悖论列表的读者请点击下方链接。

我们下一篇文章见。

世界经典悖论大全——哲学、数学、物理、经济学著名悖论完全解读zh.senkohome.com/paradox-list/