友谊悖论——朋友的朋友比自己朋友多

大家好，我是 Senko。 本文将解读“友谊悖论”。

想一想自己的朋友，怎么看都觉得个个比自己交游更广。这既不是谦虚也不是自我评价失真，而是在几乎所有人际关系网络里都会数学地成立的现象。平均来说，自己的朋友比自己朋友多。而且这件事，对几乎所有人同时成立。

用一个很小的朋友圈数一遍

光讲道理不容易信，我们就在只有四个人的世界里数一数。

有甲、乙、丙、丁四人，交友关系是这样：甲与另外三人都是朋友；乙与丙只跟甲是朋友；丁也只跟甲是朋友。

每个人的朋友数是：甲 3 人，乙丙丁各 1 人。全体的平均是 3、1、1、1，即 1.5 人。

接着数“朋友的朋友有几个”。甲的朋友是乙丙丁，各自朋友 1 人；乙的朋友只有甲，而甲有朋友 3 人；丙与丁也一样。

把所有“某人的朋友”的朋友数排出来，就是 1、1、1、3、3、3，平均是 2 人。

本人们的平均是 1.5 人，朋友的平均是 2 人，朋友那边确实更多。

交游广的人被反复数到

机关出在数法上。

数“朋友的朋友”时，我们并不是把人一个一个平等地数。一个人作为“某人的朋友”登场几次，就被数几次。

有 3 个朋友的人，会出现在 3 个人的朋友名单里，所以被数 3 次；只有 1 个朋友的人只登场 1 次；一个朋友都没有的人，压根不会登场。

透过朋友名单去看人，交游广的人反复出现，孤立的人几乎不出现，于是形成了一份偏斜的样本。

这个偏斜叫作抽样偏差，麻烦之处在于它是无意间形成的。明明“选的是连接”而不是“选的是人”，却以为自己选的是人——错位就出在这里。

例外几乎不存在

这个性质有多强呢，相当强。

在数学上，朋友的平均人数不可能低于本人的平均。两者相等只在所有人的朋友数正好相同时发生，除此之外朋友那边必定更多。

现实的人际关系里，交游范围人人相同基本不可能，所以它实际上在一切网络中都成立。

在1991年的论文里指出这个性质的，是美国社会学家斯科特·费尔德。论文的标题就叫“为什么你的朋友比你朋友多”，一句话说尽了内容。

同一个道理不止适用于朋友关系。合著者的论文被引用得比自己多；在社交网络上，你关注的对象粉丝比你多。健身房里遇到的人看着比自己更勤快，也是同一种偏斜——去得越勤的人越容易被撞见。

差距的大小由离散程度决定

差距会拉开多少，其实能用很简单的形式写出来。

越离散，差距越大

设朋友的平均人数为 m、朋友数的离散程度（方差）为 v，那么“某人的朋友”的平均朋友数就是：

m ＋ v ÷ m

也就是说，在本人们的平均 m 之上，再加上方差除以平均的那一份。

刚才四个人的例子里，平均是 1.5 人，方差是 0.75。0.75÷1.5＝0.5，于是 1.5＋0.5＝2.0 人，与实际数出来的一致。

从这个式子能读出两件事。其一，只有方差为零、也就是所有人朋友数相同时，差距才会消失。其二，交游范围差别越悬殊的群体，差距拉得越夸张。

像社交网络这种一部分用户拥有数量级差距的连接的场所，方差极大，差距拉开几倍到几十倍也不稀奇。

同样的结构身边到处都是

“计数的单位被掉了包”这个同样的机制，在各处都会露脸。

它们无非都是“把什么算作一个”在中途被掉了包。与其一个个记住，不如养成怀疑这一点的习惯来得快。

社交网络让人难受的一部分理由

这个现象与今天的生活实感也接得很紧。

社交网络的时间线上流过来的，是发帖多、连接广的人的发声；不怎么发帖的人的日常，本来就进不了视野。

于是“大家都过得很充实”这个印象就形成了；可那并不是普通人的样子，只是被人递上了大幅偏向显眼一侧的样本。

“只有自己被落下了”这种感觉里，除了心理因素，也掺着这样的结构性原因。知道这个道理之后，我就不再把时间线的印象当作实态的代表。明白了它作为数字的性质本来如此，多少能冷静些。

不只是朋友的数量

这个现象并不止于朋友人数。

按2014年欧姆与赵指出的广义友谊悖论，只要是与连接数相关的属性，什么都会出现同样的偏斜。

• “研究者的被引数”：合著者被引用得比自己多
• “社交网络的反响”：你关注的对象收到的反响比自己多
• “活跃度”：熟人看着都比自己活跃

道理是一样的：显眼的人进入更多人的视野，不显眼的人根本不被数到。只要连接多这件事本身与该属性的高低挂钩，偏斜就会连锁。

也就是说，“身边的人都比我强”这种感觉里，相当一部分光用抽样偏差就能解释，与能力差距无关。

若想确认自己的位置，就需要怀疑“与身边的人比较”这个方法本身。身边并不是随机样本，而是偏向显眼一侧的集合。

老实说，知道这个推广之后，我更觉得挑选比较对象这件事本身就已经决定了结论。定下要跟什么比的那一刻，答案大概就出了一半。

在传染病防控上的意外用法

有意思的是，这份偏斜不只是弱点，也能当工具用。

想拦住传染病扩散时，最有效的是先保护接触人数多的人。可要事先掌握谁接触多，就得把整个社会的连接查个遍，现实中做不到。

这时候友谊悖论就派上用场了：随机挑一个人，请他说出一个朋友的名字，然后把被说出的那一方作为对象。仅此而已，连接多的人就自然更容易被选中。

在完全不了解网络结构的情况下，也能高效地把手伸到处在中心的那些人身上。这个手法从2003年前后开始被研究，实际也用在了流行的早期发现上。

与概率直觉相悖的悖论

计算本身没错，答案却怎么也和直觉对不上——下面是与此相关的悖论。

结语

本文解读了“友谊悖论”。

总觉得身边围着的全是朋友比自己多的人，原因是我们抽的样本不是人，而是连接。问题不在自己这一侧，而在数法那一侧。

信息是用什么方式收集来的。只要把这一处确认一遍，眼前风景的意思就变了。我觉得这是同时装着统计的可怕与有趣的题材。

想返回悖论列表的读者请点击下方链接。

我们下一篇文章见。

世界经典悖论大全——哲学、数学、物理、经济学著名悖论完全解读zh.senkohome.com/paradox-list/