蒙提霍尔问题——换一扇门，中奖概率翻倍

大家好，我是 Senko。 本文将解读“蒙提霍尔问题”。

这个问题源自美国的一档电视节目。它刚被公开讨论时，连数学家甚至诺贝尔奖得主都给出了错误答案，引发了一场大论战，是概率论历史上赫赫有名的悖论。

蒙提霍尔问题的设定

游戏规则如下。

你面前有三扇门（A、B、C）。一扇门后面是新车（大奖），另外两扇门后面是山羊（空门）。

你选择其中一扇门。假设你选了门 A。

这时主持人蒙提·霍尔登场。蒙提知道每扇门后面是什么，于是他从你没选的门里打开一扇“必定是山羊的门”。假设他打开了门 C，让你看到一只山羊。

接着蒙提问你：“要不要改变选择？是坚持门 A，还是换成门 B？”

那么，该换吗？

大多数人的直觉

绝大多数人会想：“换不换都一样。剩下两扇门，概率就是五五开。”

然而，这是错的。

正确答案是“应该换”。换门后中奖概率是 2/3，不换则是 1/3。换门能让中奖概率翻倍。

为什么是 2/3

最简单的解释是这样的。

你最初选门的那一刻，选中的概率是 1/3，没选中的概率是 2/3。

蒙提打开一扇空门，但这个行为并不会改变“你最初的选择正确的概率”。你选的那扇门是大奖的概率依然是 1/3。

大奖在剩下两扇门中的概率原本是 2/3，而蒙提替你排除了其中一扇空门，于是这 2/3 的概率全部集中到了另一扇没被打开的门上。

所以换门就有 2/3 的概率中奖。

把所有情况列出来

仍然不服气的读者，我们把所有情况列出来看看。假设你最初选了门 A。

三种情况中，不换而中奖的只有一种，换门而中奖的有两种。换门有利一倍，一目了然。

一场大论战

这个悖论轰动世间是在 1990 年。专栏作家玛丽莲·沃斯·莎凡特在杂志专栏里写下正确答案“应该换”，结果收到了约一万封读者的抗议信。

其中不乏来自数学家和博士学位持有者的批评：“你的答案是错的”“概率明明是五五开”。

然而，经过计算机数万次的模拟实验，换门确实以约 2/3 的概率中奖，莎凡特的答案被证明是正确的。

为什么直觉会出错

人们在这个问题上栽跟头的最大原因，是忽略了“蒙提的行动带来了新信息”。

蒙提遵守着“必定打开一扇空门”的规则，他不是在随机开门。如果你的选择是空门（概率 2/3），蒙提就只能打开剩下的那一扇空门。也就是说，蒙提的行动间接透露了“大奖在另一扇门后”的信息。

如果蒙提并不知道门后的情况、纯粹随机开门而恰好开出了山羊，那么概率就真的是五五开。结论会因蒙提是否知情而改变，这也是这个问题的有趣之处。

知道正解了也不想换的心理

有意思的是，即便理解了2/3是对的，犹豫要不要换的人仍然不少。这里有着与概率无关的因素在起作用。

• 后悔的不对称：换了却猜错时的后悔，感觉比不换而猜错更重
• 禀赋效应：一旦自己选过，就生出了依恋，难以放手
• 行动偏差：什么也不做而失败，比动了手再失败更容易接受
• 一锤子买卖：概率要反复才见效。只来一次的话，2/3也照样会落空

第四条尤其不能忽视。只挑战一次时，就算正确地换了，三次里也有一次会错。那时留在本人心里的，只有“不换就中了”这个事实。

期望值上明显有利的选择，作为经历却可能事与愿违。这在投资与医疗的决策上也会发生，接到的教训是：“正确的判断”与“好的结果”是两回事。

也有用鸽子做的实验报告称，在反复试验之中，换的频率会渐渐升高。若靠经验而非道理去学，是能走到正解的。人之所以吃力，也许正因为想从一次经历里去一般化。

把门换成100扇就一目了然

道理上说不通的时候，最管用的一种说明，是干脆把门的数目加多。

设100扇门里只有1扇是中奖。挑战者选了1扇之后，主持人把剩下99扇里的98扇打开，全部亮出没中。剩下的，是最初选的那1扇与主持人没打开而留下的那1扇。

这时问要不要换，答案我想再明白不过：最初选的那扇中奖的概率仍是百分之一，而被留下的那1扇上，聚着九成九的分量。

• 最初的1扇：从100扇里瞎猜选的，概率1%
• 被留下的1扇：知道内情的主持人排除了98扇之后留下的，概率99%

3扇的情形结构相同，只是比率成了1/3对2/3。“主持人是知情之后再挑着开的”这一点在起作用——把数目加多，这一点就看得清清楚楚。

主持人的行为方式会改变概率

还有一点想按住：这个问题的答案依赖于主持人的规则。

第二行要紧。主持人不知内情地打开、碰巧是没中的，那概率就真的是一半一半。常听到的“不就是50%对50%吗”这条反驳，在这个情形下是对的。

第三、第四行则是主持人在诱导或搭救挑战者。在被称作“恶魔版蒙提”的设定里，只给选中了的挑战者以更换的机会，于是一换必错。

所以这个问题与其说是概率的计算，不如说是读对方行为规则的问题。1990年那场大论战意见分裂的一个原因，也在于题面没有把主持人的规则写清楚。

节目里实际是怎样的

意外地少有人知：在真实的节目《Let’s Make a Deal》里，这条规则并不总是被套用。

主持人蒙提·霍尔本人后来在接受报纸采访时说过：他会根据挑战者最初选的那扇门里是什么，当场判断要不要开另一扇门、要不要提出现金。

节目里并没有“主持人必定打开没中的门”这个保证。也就是说，他可以只在挑战者中了奖时才去动摇对方。

• 作为数学问题的蒙提霍尔：规则被固定，所以答案是2/3
• 作为节目的蒙提霍尔：掺进了主持人的裁量，概率定不下来

也就是说，用同一个名字叫着的两样东西，其实是两回事。

霍尔本人在采访中表示，自己不是数学家，他的工作是读挑战者的心理。作为概率教材而出名的问题，源头竟是一场读心的博弈——我觉得这挺有意思。

直觉出错的理由能收束到“主持人知道答案”这一点上，我想正是这个问题做得好的地方。

背叛概率直觉的相关悖论

以下是与蒙提霍尔问题同样让条件概率的直觉栽跟头的相关悖论。

结语

本文解读了“蒙提霍尔问题”。

这个连数学家都答错的悖论，象征性地展示了人类对概率的直觉有多么脆弱。即使知道了答案，可能仍有读者觉得哪里不太对劲——而这份挥之不去的违和感，正是这个问题的魅力所在。

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