蒙提霍尔问题——换一扇门，中奖概率翻倍

大家好，我是 Senko。 本文将解读“蒙提霍尔问题”。

这个问题源自美国的一档电视节目。它刚被公开讨论时，连数学家甚至诺贝尔奖得主都给出了错误答案，引发了一场大论战，是概率论历史上赫赫有名的悖论。

蒙提霍尔问题的设定

游戏规则如下。

你面前有三扇门（A、B、C）。一扇门后面是新车（大奖），另外两扇门后面是山羊（空门）。

你选择其中一扇门。假设你选了门 A。

这时主持人蒙提·霍尔登场。蒙提知道每扇门后面是什么，于是他从你没选的门里打开一扇“必定是山羊的门”。假设他打开了门 C，让你看到一只山羊。

接着蒙提问你：“要不要改变选择？是坚持门 A，还是换成门 B？”

那么，该换吗？

大多数人的直觉

绝大多数人会想：“换不换都一样。剩下两扇门，概率就是五五开。”

然而，这是错的。

正确答案是“应该换”。换门后中奖概率是 2/3，不换则是 1/3。换门能让中奖概率翻倍。

为什么是 2/3

最简单的解释是这样的。

你最初选门的那一刻，选中的概率是 1/3，没选中的概率是 2/3。

蒙提打开一扇空门，但这个行为并不会改变“你最初的选择正确的概率”。你选的那扇门是大奖的概率依然是 1/3。

大奖在剩下两扇门中的概率原本是 2/3，而蒙提替你排除了其中一扇空门，于是这 2/3 的概率全部集中到了另一扇没被打开的门上。

所以换门就有 2/3 的概率中奖。

把所有情况列出来

仍然不服气的读者，我们把所有情况列出来看看。假设你最初选了门 A。

三种情况中，不换而中奖的只有一种，换门而中奖的有两种。换门有利一倍，一目了然。

一场大论战

这个悖论轰动世间是在 1990 年。专栏作家玛丽莲·沃斯·莎凡特在杂志专栏里写下正确答案“应该换”，结果收到了约一万封读者的抗议信。

其中不乏来自数学家和博士学位持有者的批评：“你的答案是错的”“概率明明是五五开”。

然而，经过计算机数万次的模拟实验，换门确实以约 2/3 的概率中奖，莎凡特的答案被证明是正确的。

为什么直觉会出错

人们在这个问题上栽跟头的最大原因，是忽略了“蒙提的行动带来了新信息”。

蒙提遵守着“必定打开一扇空门”的规则，他不是在随机开门。如果你的选择是空门（概率 2/3），蒙提就只能打开剩下的那一扇空门。也就是说，蒙提的行动间接透露了“大奖在另一扇门后”的信息。

如果蒙提并不知道门后的情况、纯粹随机开门而恰好开出了山羊，那么概率就真的是五五开。结论会因蒙提是否知情而改变，这也是这个问题的有趣之处。

背叛概率直觉的相关悖论

以下是与蒙提霍尔问题同样让条件概率的直觉栽跟头的相关悖论。

结语

本文解读了“蒙提霍尔问题”。

这个连数学家都答错的悖论，象征性地展示了人类对概率的直觉有多么脆弱。即使知道了答案，可能仍有读者觉得哪里不太对劲——而这份挥之不去的违和感，正是这个问题的魅力所在。

想返回悖论列表的读者请点击下方链接。

我们下一篇文章见。

世界经典悖论大全——哲学、数学、物理、经济学著名悖论完全解读zh.senkohome.com/paradox-list/