大家好，我是 Senko。 本文将解读“三囚徒问题”。
这个悖论与蒙提霍尔问题拥有本质相同的结构，它鲜明地展示了条件概率的直觉与计算之间的落差。
问题的设定
三名囚徒 A、B、C 被判处死刑。不过，已经决定随机赦免其中一人。谁会被释放，囚徒们尚不知情。
囚徒 A 拜托看守：“B 和 C 里面，把会被处刑的那个人的名字告诉我一个吧。三人中至少有一人会被处刑，告诉我这个信息应该没关系吧？”
看守回答：“B 会被处刑。”
囚徒 A 于是盘算起来：“一开始我获救的概率是 1/3。但既然知道了 B 会被处刑，获救的就只能是我或 C 其中之一。这么说，我获救的概率不就上升到 1/2 了吗？”
A 的推理正确吗？
直觉与真正的答案
A 的推理是错的。
即使听了看守的信息，A 获救的概率也“仍然是 1/3”。而 C 获救的概率却上升到了 2/3。
“咦？为什么 A 和 C 的概率不一样？”——这正是这个悖论有趣的地方。
为什么仍是 1/3
把所有情形列出来核对一下。按被赦免者是谁，分三种情形。
情形 1：A 被赦免（概率 1/3） 看守会在 B 和 C 中任选一人回答。回答“B 被处刑”的概率是 1/2。
情形 2：B 被赦免（概率 1/3） 看守只会回答“C 被处刑”，不会说“B 被处刑”（因为 B 被赦免了）。
情形 3：C 被赦免（概率 1/3） 看守回答“B 被处刑”（因为 B 确实会被处刑）。
看守回答“B 被处刑”的情形有：情形 1（概率 1/3 × 1/2 = 1/6）和情形 3（概率 1/3 × 1 = 1/3）。
在看守回答“B 被处刑”的条件下，A 被赦免的概率是 (1/6) ÷ (1/6 + 1/3) = (1/6) ÷ (1/2) = 1/3。
同一条件下 C 被赦免的概率是 (1/3) ÷ (1/2) = 2/3。
与蒙提霍尔问题的关系
您也许已经察觉了——这与蒙提霍尔问题的结构完全相同。
- 三扇门 → 三名囚徒
- 有大奖的门 → 被赦免的囚徒
- 你的选择 → 囚徒 A 自己
- 蒙提打开空门 → 看守说出被处刑者
蒙提霍尔问题的正解是“应该换门”；对应到三囚徒问题，就是“C 比 A 获救的概率更高”。
看守只是把“B 和 C 中会被处刑的一方”告诉了 A。这个信息不影响 A 的概率，却影响剩下的 C 的概率。信息的作用是不对称的——这就是关键。
囚徒 A 错在哪里
A 掉进的陷阱，是“候选人从 3 人减到 2 人→概率变成 1/2”这个推理。
候选减少本身有时确实会改变概率，但这里的重点是：“看守说出哪个名字”并不是随机的。看守绝不会说出被赦免者的名字，因此他的回答依赦免者是谁而带有偏向。
无视这种偏向、简单地想成“剩 2 个人所以是 1/2”——这就是直觉性错误的真面目。
动手确认的办法
光靠讲道理难以入心，所以把它做成可以实际试的形式。
准备3张扑克，其中1张做上记号后扣在桌上，有记号的那张就是赦免。先挑1张作为自己的，再从剩下2张里翻开一张没有记号的；若两张都没记号，就随机决定翻哪一张。
反复这样做，数一数自己那张有记号的次数。大约只有三次里的一次；而没翻开、留在那里的另一张有记号的次数，是它的两倍。
试上几十次趋势就很明显，比追道理更快让人接受。
为什么许多人会答1/2
人之所以出错，背后有几种倾向被指出过。
- 等概率偏误：一旦剩下两个选项，就毫无根据地觉得是一半一半
- 忘掉信息的起点：最初是按三分之一选的，这个事实中途从意识里掉了出去
- 不看证词是怎么被选出来的：不去考虑狱警什么答得了、什么答不了
- 题面的省略：没注意到题里并没有写狱警按什么规则作答
尤其第一条根深，作为只按剩下选项的数目去判断概率的习惯，在各种场面都被观察到。
没有人会把彩票的中奖概率想成“中或不中两种，所以一半一半”；可在选项从三个减到两个的场面里，同样的错误就容易发生。人的注意力被“减少了”这个变化吸走，漏掉了原来的比率仍被保住这件事。
候选减少本身有时确实会改变概率；只是这一次，“狱警会说哪个名字”并不是随机的，这一点起了很大作用。狱警绝不会说出被赦免者的名字，所以他的发言随赦免归谁而带着偏斜。
用贝叶斯定理核一核
直觉上的争执分不出胜负，那就带进条件概率的计算。
狱警的证词有多容易发生
把狱警答“B会被处决”这个场面，在各个“谁被赦免”的世界里各有多容易发生排一排。
| 被赦免的是 | 它的概率 | 狱警答B的概率 | 相乘 |
|---|---|---|---|
| 囚犯A | 1/3 | 1/2（从B与C里随机选） | 1/6 |
| 囚犯B | 1/3 | 0（被赦免者说不得） | 0 |
| 囚犯C | 1/3 | 1（只能说B） | 1/3 |
“答B”这个证词发生的概率，是1/6与1/3相加，等于1/2。
其中囚犯A被赦免的情形所占的比例，是1/6除以1/2，得1/3；囚犯C被赦免的情形，是1/3除以1/2，得2/3。
关键在第三行。在C被赦免的世界里，狱警只能报出B的名字。这份“没有选择余地”的处境，把概率聚到了C那一侧。
狱警的作答方式一变，概率也变
更有意思的是，改变狱警的行为方式，答案就会变。
假设狱警有这样一个习惯：“B与C两个都要被处决时，必定答B”。
这时听到“B会被处决”，由于A被赦免与C被赦免两种情形下他都会答B，就区分不开了。算下来A被赦免的概率升到1/2。
反过来，若这个狱警答了“C会被处决”，那只可能发生在B被赦免的世界里，A的存活概率就掉到0。
| 狱警的方针 | 答B时A的概率 | 答C时A的概率 |
|---|---|---|
| 从B与C里随机选 | 1/3 | 1/3 |
| 能说B就说B | 1/2 | 0 |
也就是说，听到同样的话，对方按什么规则在说，所能得到的信息量就完全不同。
要看的不是证词本身，而是证词被选出来的过程。我想这个想法，在读法庭上的证词、读企业公布的数字时，也原样适用。
名字与历史
这个问题在1959年由以介绍数学趣题知名的马丁·加德纳在《科学美国人》专栏里提起，从此传开。
加德纳自己把它作为“三囚犯问题”介绍，并记录说当时收到了大量读者抗议。想到31年后蒙提霍尔问题又把同样的骚动重演了一遍，就很能明白人的直觉有多顽固。
加德纳还举出了更古老的形式——1889年贝特朗的“三个盒子问题”：三个盒子分别装着两枚金币、两枚银币、一金一银，从中取出一枚是金币，那么另一枚也是金币的概率是2/3。
结构相同。也就是说，这是一个一百三十多年来变着形状不断迷惑人的问题。
狱警答得了还是答不了，会改变概率——这一点在我看来，正是显示信息本身之价值的一个例子。
推翻概率直觉的相关悖论
以下是与三囚徒问题同样推翻条件概率直觉的相关悖论。
结语
本文解读了“三囚徒问题”。
条件概率真的会狠狠背叛直觉。获得了信息，不代表概率会对称地改变——对于和统计打交道的人来说，这是极其重要的教训。
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📚 系列：世界经典悖论（29/81）
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