大家好，我是 Senko。 本文将解读“三囚徒问题”。
这个悖论与蒙提霍尔问题拥有本质相同的结构，它鲜明地展示了条件概率的直觉与计算之间的落差。
问题的设定
三名囚徒 A、B、C 被判处死刑。不过，已经决定随机赦免其中一人。谁会被释放，囚徒们尚不知情。
囚徒 A 拜托看守：“B 和 C 里面，把会被处刑的那个人的名字告诉我一个吧。三人中至少有一人会被处刑，告诉我这个信息应该没关系吧？”
看守回答：“B 会被处刑。”
囚徒 A 于是盘算起来：“一开始我获救的概率是 1/3。但既然知道了 B 会被处刑，获救的就只能是我或 C 其中之一。这么说，我获救的概率不就上升到 1/2 了吗？”
A 的推理正确吗？
直觉与真正的答案
A 的推理是错的。
即使听了看守的信息，A 获救的概率也“仍然是 1/3”。而 C 获救的概率却上升到了 2/3。
“咦？为什么 A 和 C 的概率不一样？”——这正是这个悖论有趣的地方。
为什么仍是 1/3
把所有情形列出来核对一下。按被赦免者是谁，分三种情形。
情形 1：A 被赦免（概率 1/3） 看守会在 B 和 C 中任选一人回答。回答“B 被处刑”的概率是 1/2。
情形 2：B 被赦免（概率 1/3） 看守只会回答“C 被处刑”，不会说“B 被处刑”（因为 B 被赦免了）。
情形 3：C 被赦免（概率 1/3） 看守回答“B 被处刑”（因为 B 确实会被处刑）。
看守回答“B 被处刑”的情形有：情形 1（概率 1/3 × 1/2 = 1/6）和情形 3（概率 1/3 × 1 = 1/3）。
在看守回答“B 被处刑”的条件下，A 被赦免的概率是 (1/6) ÷ (1/6 + 1/3) = (1/6) ÷ (1/2) = 1/3。
同一条件下 C 被赦免的概率是 (1/3) ÷ (1/2) = 2/3。
与蒙提霍尔问题的关系
您也许已经察觉了——这与蒙提霍尔问题的结构完全相同。
- 三扇门 → 三名囚徒
- 有大奖的门 → 被赦免的囚徒
- 你的选择 → 囚徒 A 自己
- 蒙提打开空门 → 看守说出被处刑者
蒙提霍尔问题的正解是“应该换门”；对应到三囚徒问题，就是“C 比 A 获救的概率更高”。
看守只是把“B 和 C 中会被处刑的一方”告诉了 A。这个信息不影响 A 的概率，却影响剩下的 C 的概率。信息的作用是不对称的——这就是关键。
囚徒 A 错在哪里
A 掉进的陷阱，是“候选人从 3 人减到 2 人→概率变成 1/2”这个推理。
候选减少本身有时确实会改变概率，但这里的重点是：“看守说出哪个名字”并不是随机的。看守绝不会说出被赦免者的名字，因此他的回答依赦免者是谁而带有偏向。
无视这种偏向、简单地想成“剩 2 个人所以是 1/2”——这就是直觉性错误的真面目。
推翻概率直觉的相关悖论
以下是与三囚徒问题同样推翻条件概率直觉的相关悖论。
结语
本文解读了“三囚徒问题”。
条件概率真的会狠狠背叛直觉。获得了信息，不代表概率会对称地改变——对于和统计打交道的人来说，这是极其重要的教训。
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我们下一篇文章见。
📚 系列：世界经典悖论（22/57）
