大家好，我是 Senko。 本文将解读处境在数学界最为奇特的难题“ABC 猜想”。
通常，一个未解决问题的状态只有“未解决”与“已解决”两种。可 ABC 猜想却处在前所未有的第三种状态：自 2012 年京都大学的望月新一发表逾 600 页的证明以来已过十余年，“它究竟算不算被证明了”这件事本身，数学界仍存在分歧。本文先把猜想本身当作加法与乘法的故事来理解，然后不偏袒任何一方地梳理这场僵局。
加法与乘法其实“不太对付”
ABC 猜想的主角，是加法世界与乘法世界之间的关系。
整数世界有两张面孔。用加法的面孔看，9 是“1＋8”；用乘法的面孔看，9 是“3×3”，8 是“2×2×2”。素因数分解属于乘法世界的信息，与加法按完全不同的原理运作。“当 a 与 b 相加得到 c 时，三个数的素因数之间是否存在某种关系”——这个看着简单的问题，其实是在两个世界之间架桥的大问题。
这里引入一个工具，叫“素因数之芯”：把出现在这些数中的素因数，不计重复地各乘一次所得的数（专业术语称为根基）。比如 1＋8＝9 这个式子，出现的素因数只有 2 和 3，所以芯是 1×2×3＝6。哪怕 8 里用了三次 2、9 里用了两次 3，芯里也各只算一次。
猜想说的是“c 大幅超过芯的情况很罕见”
准备好了，来看 ABC 猜想的内容。考虑互不共享素因数的 a 与 b，以及它们的和 c（a＋b＝c）。
多数情况下，c 会小于这三个数的素因数之芯。比如 3＋7＝10，芯是 3×7×2×5＝210，远大于 c＝10。可偶尔会出现反转：刚才的 1＋8＝9 里，芯是 6 而 c＝9，c 反过来超过了芯。这发生在像 8＝2×2×2、9＝3×3 那样“少数几种素因数被反复复用”的特殊情形。
ABC 猜想主张的，大致就是这么一句。
这种“c（哪怕只带一点余量地）超过芯”的例外组合，只存在有限个。
也就是说，“靠加法造出的数，仅凭乘法素材的复用就变大，是有极限的”。1985 年由法国的厄斯特莱与英国的马瑟形式化的这个猜想，因能一击锁住加法与乘法的关系而强力无比，被称作数论的“万能刀”。顺带一提，名字的由来就真的是 a、b、c 三个数的首字母。作为世纪大猜想，这个命名朴素得让人泄气，连这点我也挺喜欢。
它一旦被证明，什么会顺带倒下
ABC 猜想的重要性，在于其推论之豪华。这一个猜想若被证明，数论中的著名难题会成批降格为推论（附赠的定理）。
代表例是花了 360 年、于 1995 年被证明的“费马大定理”。若 ABC 猜想成立，费马大定理的大部分（指数足够大的情形）只需寥寥数行论证即可导出。怀尔斯耗费上百页完成的伟业，在 ABC 面前会变成习题级。此外，关于方程整数解有限性的多条大定理与未解决猜想，也会从 ABC 猜想一齐推出。
因此，ABC 猜想一直被评为“与黎曼猜想并列的数论最重要猜想”。反过来说，当有人主张证明了这样一头怪物时，检验会承载非同寻常的分量，也就理所当然了。
2012 年，以及前所未有的僵局
2012 年 8 月，京都大学数理解析研究所的望月新一在自己网站上公开了四篇一组、合计超过 600 页的论文。那是用他几乎独自开发的理论体系“宇宙际泰希米勒理论”给出的 ABC 猜想证明。
反常的是此后的发展。通常，全世界的专家会做检验，几年内定下接受还是驳回。可这套理论无论术语还是发想都与既有数学隔绝，“几乎没人读得懂”的状态一直持续。各国举办了检验研讨会，也出现了往返京都试图理解的数学家，可赞否始终收敛不了。
2018 年，菲尔兹奖得主舒尔茨等人在京都与望月直接讨论之后，公开了“证明的核心部分存在无法填补的跳跃”这一批评。望月一方则全面反驳，称“批评基于对理论的误解”。论文虽在 2021 年正式刊登于专业期刊，但刊登方是望月所属机构发行的刊物，这也引发了议论，国际数学界的主流至今没有接受这份证明。另一方面，支持该理论并继续研究的团体也存在，近年甚至出现了民间为“发现理论缺陷者”设立赏金这种处处反常的展开。
我把这个局面当作数学这项事业的本质被暴露出来的一桩事件来看。数学证明并非逻辑正确就算完结，它要被共同体理解、被认可，才成为“定理”。ABC 猜想，就是以最痛烈的形式教我们这一社会面向的、进行时的教材。
宇宙际泰希米勒理论究竟是什么
对于挡住检验的这套理论的内容，也介绍一下氛围。
ABC 猜想难在根上：加法与乘法在同一个数上牢牢缠在一起，动不了其中一边。望月的宇宙际泰希米勒理论所尝试的，粗暴概括就是“准备若干份数学世界本身的副本，把副本之间稍稍错开再连起来，从而把加法与乘法的纠缠解开”——一次从地基开始的重造。“宇宙际”这个词，来自在“数学世界（宇宙）与副本之间”往返的发想。
构想之宏大想必传达到了，可要把它严密地做到底，就需要大量独创的概念与记法，结果成了一套据说读懂要以年为单位投入的理论。2015 年在英国、2016 年在京都都开过国际检验研讨会，可参加的一线数学家纷纷表示“越接近核心越跟不上”，理解者的圈子始终有限。
到 2023 年，还由实业家出资创设了给发现该理论重大缺陷的研究者最高 100 万美元的民间奖项。赏金挂在“发现错误”而非“证明正确”上，这在数学史上也属异例。反过来说，这也意味着人们认识到：这场僵局的性质，靠通常的审稿流程解不开。
到底证明了没有
中立地说，现在是什么状态
只摆事实的话：①主张证明成立的论文已经审稿并刊登于专业期刊；②与此同时，包括菲尔兹奖得主在内的多位一线数学家指出证明有缺陷且未撤回；③国际教科书与综述中，如今仍多把 ABC 猜想当作“未解决”处理。“已刊登，但数学界整体的共识尚未形成”——我觉得这个概括对双方立场都算公平。本文把它作为未解决问题来介绍，也是遵循这一现状的惯例。
外行也能找例外组合玩吗
能玩。例外组合的代表除了正文里的 1＋8＝9，还有 5＋27＝32、1＋48＝49 等等，数小的话手算就能与“芯”作比较。顺带一提，已知最极端的例子之一是“2＋（3 的 10 次方×109）＝23 的 5 次方”，以 c 把芯远远甩开而著名。拿计算器验一验，就能体会到这个猜想想要锁住的那份“复用的魔力”。
费马大定理都证明了，为什么 ABC 猜想还重要
因为单个定理的证明，与量产这些定理的原理的证明，价值不同。费马大定理是一座顶峰，而 ABC 猜想相当于俯瞰整条山脉的高台。假使将来确立起人人认可的证明，关于整数方程的众多问题就能从统一视角处理。数学家愿意陪这场僵局十几年，正是因为赌注就这么大。
相关的未解决问题与谜题
同为数论顶峰的“黎曼猜想”、共享“证明如何被验证”这一主题的“P 与 NP 问题”，以及动摇了数学地基的事件“罗素悖论”。
结语
本文解读了 ABC 猜想。
在加法与乘法这两件小学工具之间，竟横着如此之深的谜；而“已被证明”这四个字，竟会难以说出口到这种地步。ABC 猜想在问题本身与人性戏剧两方面，都是超规格的存在。
僵局会怎样收场，我预测不了。只是可以肯定，了断的那天会成为费马大定理级的新闻。记住 1＋8＝9 这个小小的式子，到那天看报道时会亲切得多。
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