BSD 猜想——方程的解是有限还是无限，另一个式子早已预言

大家好，我是 Senko。本文将解读千禧年大奖难题之一“BSD 猜想”（伯奇与斯温纳顿–戴尔猜想）。

某个方程能用分数表示的解，究竟只有有限个，还是有无限个。这个朴素的问题，有时会难缠得惊人。BSD 猜想主张的，是这个“解的个数”之问的答案，被一个完全不相干的式子的举止悄悄预言着这样一种不可思议的对应关系。它像是要揭开数学不同领域之间那条“秘密隧道”，证明它可获得 100 万美元。问题稍显抽象，不过只要从“哪个数能成为直角三角形的面积”这个身边的谜进门，就能摸到它的乐趣。

入口是“哪些数能当直角三角形的面积”

在一头扎进抽象论之前，先从一个 1000 多年前就为人所知的具体谜题开始，也就是“同余数问题”。

考虑三边长都能用分数（有理数）表示的直角三角形。比如边长 3、4、5 的直角三角形，面积是 6。那么，哪些整数能成为这类直角三角形的面积呢。能当面积的整数，被称作“同余数”。

真动手试试，就知道这事没那么顺。6 是同余数（边 3、4、5）。5 其实也是同余数，可实现它的直角三角形边长是分数，不容易找到。7 也是同余数。然而 1、2、3 不是同余数，这是能证明的。判定“某个整数是不是同余数”的简便方法，找了 1000 年也没找到。10 世纪的阿拉伯数学家着手过，斐波那契也挑战过，这个古典问题与朴素的外表相反，是通向数论深处的。

而这个同余数问题，已知能被原样翻译成“数一数椭圆曲线这个对象有多少个解”的问题。1000 年前的直角三角形之谜，直连千禧年大奖难题。这份出人意料的关联，就是 BSD 猜想故事的开端。

椭圆曲线与“解是有限还是无限”

BSD 猜想的主角，是被称为“椭圆曲线”的方程。名字里有椭圆，可它与椭圆是两回事，内容是“y 的平方＝x 的立方＋某些项”这种形式的、比较简洁的方程。画成图像，就是一条光滑的曲线。

关于这条曲线，数学家想知道的是曲线上“能用分数表示的点（有理点）”有多少个。x 坐标与 y 坐标都能用分数表示的点，在这条曲线上是只有有限个，还是有无限个。这是这个领域的核心之问，而刚才的同余数问题，也能被换成“某个整数是不是同余数”等价于“对应的椭圆曲线的有理点是不是无限多”这样的提法。

可要分辨这个“有理点是有限还是无限”，难得可怕。盯着曲线看，或是找到几个点，都无法判断它是到此为止，还是会无限延续下去。本系列反复出现过的“有限的观察推不出无限的结论”这堵墙，在这里同样挡在面前。

1960 年代，计算机发现的秘密对应

决定性的线索，诞生自计算机黎明期的实验。1960 年代，英国的布赖恩·伯奇与彼得·斯温纳顿–戴尔两人用当时最先进的计算机，针对大量椭圆曲线计算某个别的量，再与有理点的个数作比对。

那个别的量，就是从椭圆曲线造出来的、完全另一个式子——“L 函数”（可以把它想成本系列黎曼猜想里出现过的 zeta 函数的亲戚）。两人发现的对应令人吃惊：这个 L 函数在某个特定点上是否取零，似乎与椭圆曲线的有理点是否无限多严丝合缝地联动着。

再说得具体一点：L 函数在那个点上不取零，则有理点有限；取零，则有理点无限。而且 L 函数在那个点上“取零取得有多深”，还能言中有理点的“丰饶程度”。方程解的个数之问，与毫不相干的另一个式子的取值。看似八竿子打不着的两者，被一条秘密隧道连着——这就是 BSD 猜想。名字取自伯奇与斯温纳顿–戴尔的首字母。

这座“桥”为何如此重要

BSD 猜想被列为数学最重要问题之一，是因为它是连接数学不同领域的桥。

一侧岸上，是数一数方程有多少个解这种朴素而几何的问题。另一侧岸上，是 L 函数的解析举止这种完全异质的问题。BSD 猜想主张，这两岸其实是在用不同语言讲同一片风景。这类“异领域其实是同一件事”的桥的发现，是现代数学中最深刻、也最多产的主题。费马大定理时隔 360 年被证明，正是托了这种桥（连接椭圆曲线与另一类对象的猜想）架起来的福。

BSD 猜想在容易的特殊情形下已经被证明。当 L 函数取零的深度较浅时，猜想被证实是对的。可一般情形至今仍未被触及。许多数学家相信它正确，计算机的海量数值实验也全都支持它，可完整的证明依然遥远。与本系列的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想一样，“人人都信，却谁也证不出”这幅熟面孔的风景，也铺在这个最抽象的问题脚下。

用来量“隐藏个数”的发明品

BSD 猜想的主张里，其实还有一位让数学家头疼的奇妙登场人物。想把猜想说成精密形式，为了让 L 函数的取值与有理点的个数对上账，就需要一个被称作“沙法列维奇–泰特群”的量，它量的可以说是“不易看见的解的个数”。

这是个有点古怪的存在。它量的是“看着像有解，实际却没有有理数解”这种偏差有多大，而长期以来，人们连它是不是有限的值都不知道。像“幽灵”一样，有还是没有、有的话有多大，都抓不住。BSD 猜想的完整形态，是连这只幽灵一起全部对上账的宏大主张。

“把看不见的量也驯服”这种营生，我觉得是数学的狠劲表现得很充分的地方。明明不能直接看见，却靠与其他看得见的量对账，间接地把它的存在与大小箍住。天文学家从周围轨道的紊乱推算出看不见的行星，同样的发想，在抽象数学的深处也在被使用。

对这个抽象猜想的朴素疑问

老实说，我感受不到它到底厉害在哪

这不奇怪。这个猜想的狠劲不在日常的用处，而在“揭开看不见的对应关系”。就像天文学家看穿行星运动这个几何现象与万有引力这条定律其实是同一件事那样，是世界的不同部分原来由同一原理连着的那份发现之喜。BSD 猜想若被完整证明，1000 年来的同余数问题就能彻底解决，对用于密码技术的椭圆曲线的理解也会加深。不过我想，品味这个问题最好的入口不是实用，而是“为何本该无关的两者会联动”这份不可思议本身。

听说椭圆曲线用在密码里

正是如此，这一带是为数不多的实用接点。支撑智能手机通信与信用卡支付安全的一部分密码（椭圆曲线密码），用的就是这个椭圆曲线的性质。沿着有理点走的计算具有“正着做容易，倒着做极难”的性质，这成了密码的钥匙。对 BSD 猜想所处理的有理点结构的理解加深，长期看也关系到密码技术的基础。纯粹数学里显得格外不食人间烟火的椭圆曲线，居然在守护我们每天的通信，我觉得这是个相当痛快的事实。

这个问题有可能被解开吗

专家之间看法也有分歧。因为它位于解开费马大定理的那套工具（围绕椭圆曲线的理论）的延长线上，并非全无线索，特殊情形的证明也在扎实推进。另一方面，也有人指出一般情形所需的数学，或许还不在人类手里。局部的成功不断累积，却够不到本丸——这个状况与本系列的许多问题相通。何时、由谁、用怎样的新发想解开，正因为预测不了，才是追未解决问题的乐趣所在。