奇完全数——找了 2000 多年也没找到的完美之数

大家好，我是 Senko。本文将解读被称为“数学上最古老的未解决问题”的奇完全数之谜。

6 这个数，除自身以外的因数是 1、2、3，加起来 1＋2＋3＝6，正好回到它自己。28 也一样：1＋2＋4＋7＋14＝28。这类数在古希腊被命名为“完全数”，并被视为神圣。可迄今找到的完全数，52 个全是偶数。奇数的完全数究竟存不存在？这个问题 2000 多年来没人答得上来，被称为有记载以来最古老的未解决问题。

6 与 28 为何被称作“完全”

完全数指的是把自身以外的因数（真因数）全部相加，结果等于原数的数。从小到大依次是 6、28、496、8128。这四个从古希腊时代就已为人所知。

古人从这份匀称里看到了神秘。因数之和够不到原数的数（比如 10 是 1＋2＋5＝8，不足）叫“亏数”，超过原数的数（12 是 1＋2＋3＋4＋6＝16，超了）叫“盈数”。而处在两者之间、“不多不少刚好平衡”的，才是完全数。到了后世的基督教世界，甚至衍生出“神用六天造世界是因为 6 是完全数”“月亮周期 28 天也是因为完全数”之类的解释。神学暂且不论，这种在数轴上极少出现的数被另眼相看，我觉得是很自然的事。

毕达哥拉斯学派也推崇完全数的亲戚“亲和数”。220 与 284 这一对，220 的因数之和是 284，284 的因数之和是 220，彼此的因数之和正好是对方。正是这种把数当作人格与关系之象征来看的感性，把“因数求和”这种朴素计算，养成了延续 2000 年的研究对象。

实际上，完全数稀少得惊人。1 万以内只有 4 个，而找到第五个（33,550,336）花了 1000 多年。目前已知的完全数总共 52 个。而正如开头所说，这 52 个无一例外全是偶数。

欧几里得与欧拉把偶数一侧彻底查清

关于偶完全数，其实谜已经基本解开了。而且这次解明，是一场跨越 2000 年的接力。

第一棒是公元前 300 年前后的欧几里得。他在《几何原本》中证明了：若 2 的 p 次方减 1 是素数，那么它乘以 2 的 p−1 次方所得之数就是完全数。比如 2 的 2 次方减 1＝3 是素数，于是 3×2＝6 是完全数；2 的 3 次方减 1＝7 也是素数，于是 7×4＝28 是完全数。

这种“2 的 p 次方减 1”形式的素数，因 17 世纪的修士梅森而被称为梅森素数。而第二棒的欧拉在 18 世纪证明了反方向：所有偶完全数必定都是欧几里得给出的那种形式。也就是说，偶完全数与梅森素数处于“完全的一一对应”之中。

托这个对应的福，寻找偶完全数就转化成了“寻找梅森素数”。如今的搜索由把全世界志愿者的电脑连起来的分布式计算计划（GIMPS）承担，已知最大的梅森素数是个超过 4100 万位的怪物。每找到一个新的梅森素数，完全数的名单就延长一个。52 这个数字，就是这场两人三足当前的比分。

全世界电脑参与的“素数猎人”现场

寻找梅森素数的现状，是个相当痛快的世界。1996 年启动的分布式计算计划 GIMPS，靠的是全世界有志者贡献自家电脑的空闲时间来寻找巨型素数，四分之一个世纪里一直垄断着纪录。任何人都能免费参加，作为新梅森素数的发现者留名。

发现还牵扯着奖金。电子前哨基金会为位数的整数关口设了奖金，超过 1000 万位的素数曾获得 10 万美元（下一个关口 1 亿位的 15 万美元至今仍挂着）。而最近的第 52 个梅森素数，是由个人租用大规模云端 GPU 集群发现的，鲜明地标示出“从自家电脑的时代走向云的时代”。

完全数的搜索，从古希腊的神秘思想，经修士的猜想清单，变成了调集全球算力的竞技。一个 2300 岁的谜题至今仍是现役赛场，我觉得这是这个问题最值得自豪的地方。

奇数一侧“连存不存在都不知道”，2000 年了

与偶数一侧漂亮的理论形成对照，奇数一侧几乎什么都不清楚。

对“奇完全数是否存在”这个问题，现状的回答是“一个也没找到，可也没有不存在的证明”。从欧几里得算起 2300 年，这个问题既未被肯定也未被否定。笛卡尔与欧拉都下过手，欧拉收窄出了“若存在则必为特定形式”的条件，可离定论还差得远。

现代的搜索以计算机不断抬高下界的形式推进。目前已经证明，10 的 1500 次方以内不存在奇完全数。宇宙中原子总数约为 10 的 80 次方，可见已搜索范围远远超出了那个量级。此外，若它真的存在，就必须满足“得有非常多的素因数”“必须含有特定形式的素因数”之类几十条苛刻条件，奇完全数可以藏身的区域正逐年收窄。

多数数学家预测它“不存在”。但即便用条件逼到这个地步，人们仍认为要证明“不存在”，需要一个独立的新想法。把嫌疑人的藏身处压缩得再小，也不等于证明了“哪里都没有”。与哥德巴赫猜想的验证一样，有限搜索与无限证明之间那道沟，在这里同样存在。

把“没用”坚持 2300 年的奢侈

以实用性这把尺子量，完全数研究几乎是零分。与用于密码的素数不同，完全数本身找不到产业应用。即便如此，我仍把这个问题当作未解决问题门类中“纯粹性的象征”而喜欢。

理由之一，是它让人看到数学的寿命有多长。欧几里得证明的定理，2300 年后的今天依然原样正确，还作为 GIMPS 搜索程序的地基在现役工作。科学理论几十年就会被改写，而被证明的数学永不过时。完全数的历史，就是这一事实的活体展览。

理由之二，是它作为最古老的实例，体现了这个门类共通的悖论：“越简单的问题越难缠”。一个把因数加一加、小学生都懂的玩法，比考拉兹猜想、比黎曼猜想都更久，贯穿人类全部历史地悬着。我觉得这是体验“数之世界深不见底”最便宜的一个问题。

奇完全数被逼到了什么程度

既然“几乎不存在”，直接认定它不存在不行吗

在数学里不行。事实上，这个领域有个可作教训的实例：过去“梅森数为素数的清单”用的是梅森本人的猜测，后来的验证却在清单里同时找到了遗漏与错误。凭直觉或权威给出的“几乎确定”，在计算机与证明面前被推翻过许多次。在 10 的 1500 次方之外，只藏着一个奇完全数的可能性，在被证明之前不会消失。倒不如说，“大概没有那种东西”的感觉，与“不能断言没有”的逻辑之间的这份张力，才是追这个问题的乐趣。