纳维–斯托克斯方程——天气预报每天在用，却藏着百万美元之谜

大家好，我是 Senko。本文将解读站在物理与数学交界处的未解决问题“纳维–斯托克斯方程”。

把水龙头慢慢拧开，水会像一根透明的棒子那样笔直落下。再拧开一点，从某个瞬间起水流就乱了，卷起漩涡，再也不重复同一个形状。支配这份“乱”的，正是大约 200 年前写下的纳维–斯托克斯方程。天气预报也好，飞机设计也好，每天都在用它。可用数学的眼睛去看，这个方程连“答案（解）会不会一直存在下去”这个门口的问题都没有证明。这一问悬着100 万美元的千禧年大奖。

水与空气的运动方程

纳维–斯托克斯方程，是描述水或空气这类流体的速度如何随时间变化的方程。19 世纪前半，法国工程师纳维做出雏形，英国物理学家斯托克斯把它收尾。内容说到底就是牛顿运动方程的流体版，把“流体的每一部分都按受力与黏性运动”这件事写成了算式。

适用范围压倒性地广。杯子里的水、血管里流的血、机翼周围的空气、台风、洋流，乃至星系里的气体，肉眼可见尺度上的流动几乎全在这一个方程的支配之下。天气预报把这个方程（的亲戚）套到地球大气上，用超级计算机做数值计算；飞机与汽车的设计现场，大量风洞实验也已被方程的数值模拟取代。

也就是说，在“使用”这个意义上，人类已经把这个方程完全驯服了。问题在于，在“理解”这个意义上，我们还堵在门口。

百万美元之问是“解会不会爆掉”

2000 年，克雷数学研究所把这个方程选进了千禧年大奖难题。悬赏的问题朴素得出人意料。

在三维空间中，从光滑的初始状态出发时，纳维–斯托克斯方程的光滑解会不会一直存在下去。还是说，它有可能在有限时间内破裂（爆破）？

“爆破”指的是，解在某个点上的速度或漩涡强度在有限时间内发散到无穷大。用物理的话说就是：明明从平静的水面出发，在方程上却可能在有限时间后，流动在数学意义上坏掉。现实中的水没有任何要这么干的迹象。可是，方程的解不会变成那样的保证，200 年来谁也给不出来。

把已知的东西整理一下。1934 年，法国的勒雷证明了被称作“弱解”的、宽松意义上的解会一直存在。只不过这种弱解是妥协的产物，光滑性与唯一性（答案只定成一种）都得不到保证。另外，把世界限制在平面上的二维情形，光滑解永远存在已经被证明。也就是说，问题的核心只潜伏在三维里。2014 年，数学家陶哲轩指出，把方程稍作改造的“平均化版本”确实能造出在有限时间内爆破的解，这给“真方程说不定也会爆破”方向的研究添了柴。如今“永远光滑”派与“可能爆破”派谁对，专家的意见也是分裂的。

被称为“古典物理最后难题”的湍流

为什么偏偏三维这么难。钥匙在湍流。

流动有两副面孔。慢的流动叫层流，规规矩矩地光滑，数学上也好摆弄。可速度一上去，流动会突然转变成湍流。大漩涡生小漩涡，那漩涡再生更小的漩涡。这份“漩涡的级联”把能量不断搬向更细的尺度，因此三维湍流里可以生出要多细有多细的结构。倘若解的爆破真会发生，那就正发生在这个想要无限变细的结构当中（二维里不起作用的是漩涡拉伸这套机制，所以不会出现这种失控）。

最早系统考察从层流到湍流之切换的，是 19 世纪的雷诺。他用往玻璃管水流中注入染料细线这样朴素的实验，展示了流速慢时染料保持一条线，一旦超过某个速度就突然被搅乱。支配这个切换的指标被称作雷诺数，至今仍是流体力学的共通语言。实验本身在中学的理科教室就能重现，背后的数学却是 100 万美元的未解决问题，这份纵深很有这个领域的味道。

湍流还因物理学家费曼评价它是“古典物理学留下的最重要未解决问题”而知名。量子力学与相对论这些“遥远世界”的理论都整备好了之后，杯中之水这个“最身边的世界”的完整理解反倒剩了下来。这个讽刺的构图，我觉得正是纳维–斯托克斯问题作为故事的魅力。

飞机就靠没有保证的工具在飞

这里自然会冒出一个疑问。用连解的存在都没保证的方程，天气预报与飞机设计凭什么成立？

实务用的不是方程的严格解，而是数值上的近似解。把空间与时间切成细密的格子，在格子上描摹方程。最新的全球气象模型里格点已达到亿的量级，可即便如此也远够不到湍流最小的漩涡，于是太细的漩涡就用被称为“湍流模型”的经验近似来替代。这场工程学的总力战与实验、观测反复对照检验过，已知实用上足够可靠。

不过，数学保证的缺席，也在实务上投下阴影。数值计算的结果究竟离真解有多近、湍流模型的误差有多大，这些问题的根本答案，不理解解本身就得不到。天气预报精度的提升与湍流的控制（飞机的油耗直接系于此），迟早需要数学的进展。100 万美元之问，其实连着产业的脚下。

我喜欢这个问题“天天在用，却并不明白”的构图。理解与实用之间，有着比想象中更宽的缝隙。在软件的世界里每次遇到“它在跑，却没人说得清为什么”的代码，我都会稍微想起纳维–斯托克斯方程。

天气预报为何今天依然准

解要是“爆破”了，现实中的水也会爆吗

不会。这里容易误解，爆破终究是方程这个模型的破裂。现实中的水由分子构成，无限细的漩涡在物理上无法存在。如果解的爆破被证明了，那就是发现“纳维–斯托克斯方程一旦越过连续介质近似的极限，作为模型就会坏掉”，不是现实之水的异常，而是方程与现实之间偏差的发现。无论哪种结局对物理学都是大丰收，这正是这道悬赏题有意思的地方。

天气预报不准，是因为这个未解决问题吗

主因是别的。预报不准的最大理由，是大气具有混沌性、初始值的微小误差会在数日内被放大（也就是所谓“蝴蝶效应”），以及观测数据与计算格子的分辨率极限。这与解的存在问题是另一种困难，就算千禧年大奖被解决，周报也不会一下子变准。不过湍流的数学理解若有推进，倒有可能改善预报模型里做近似的那部分。“并非无关，但也不直连”，这才是准确的距离感。

作为千禧年大奖难题，它进展到哪一步了

七问当中，它以“线索之少”闻名。黎曼猜想有海量的局部结果，P 与 NP 问题有“这个方法解不了”的一批墙的定理，而纳维–斯托克斯问题连该朝肯定（永远光滑）还是否定（会爆破）走都没定下来。近年陶哲轩对平均化方程的研究，以及在相关流体方程上实际构造出爆破解的研究都在推进，“可能爆破”一侧的旁证正一点点增多，这是最新的空气。多数人的判断是，了断还很远。