三体问题——天体一到三个，宇宙就变得无法预测

大家好，我是 Senko。本文将解读天体力学的传奇难题“三体问题”。

太阳与地球，只有两个天体的话，轨道能算得完美无缺。牛顿在 350 年前就解干净了，答案是漂亮的椭圆。那再加上一个月亮呢？已知的是，天体刚变成三个的那一瞬间，给出轨道的通用公式就不存在了，运动在原理上就可能变得难以预测。这个被刘慈欣拿去当科幻小说标题的问题，并不是单纯的“太难所以解不开”。它是“解不开”这件事本身被数学证明了的、来头不小的问题。可即便如此，仍有谜留着。

两体完美，三体泥潭

三体问题，是求三个只靠彼此引力相吸的天体会画出怎样轨道的问题。

出发点是辉煌的成功。牛顿从万有引力定律出发，把两个天体的运动完全解开了。太阳周围的行星画着椭圆，其轨道能用算式写到永远的未来。开普勒从观测中看穿的定律，靠计算被整个复现了出来。我觉得这是物理学史上最美的胜利之一。

那么下一步当然是三个。太阳、地球与月亮。牛顿本人挑战过这个计算，然后吃了苦头。关于月球运动的问题，据说他留下过“唯一让我头疼的问题”这样的逸事。此后 200 年，欧拉、拉格朗日、雅可比等大数学家接连挑战，可谁也没能抵达两体时那种给出轨道的万能公式。找到的只有三个天体保持特殊配置持续旋转的例外解。拉格朗日找到的正三角形配置之解，后来在木星轨道上以特洛伊小行星的形式被发现了实物，如今则作为空间望远镜的停机坪（拉格朗日点）在实用。

从获奖论文的错误里生出了“混沌”

决定性的转折点，是 1889 年瑞典国王奥斯卡二世为数学难题设立的悬赏征文。挑战三体问题（准确说是 n 体问题）的法国人亨利·庞加莱提交了论文并夺得桂冠。

可就在这里，发生了留名科学史的事件。在论文付印阶段，庞加莱本人发现了证明中的重大错误。他自掏腰包承担了回收已印论文并重印的费用。据传那笔钱超过了奖金。

然而，正是这次纠错工作改变了历史。在改正错误的过程中，庞加莱发现三体问题的轨道具有初始条件哪怕只差一丁点，就可能走向完全不同命运的性质。出发点的位置只挪开一根头发丝，百年后的轨道就变得面目全非。既然观测再精密误差也不可能归零，长期轨道在原理上就无法预测。这就是如今被称为“混沌”的概念的发现。半个世纪后，这个性质在气象学家洛伦茨的计算机实验中被重新发现，并因“巴西的蝴蝶扇翅会在得州掀起龙卷风吗”这个演讲标题，以蝴蝶效应之名传遍世界。混沌的故乡不是天气，而是三体问题。一篇失败的悬赏论文，成了 20 世纪混沌理论这块新大陆的发现报告。作为未解决问题催生新数学的典型例子，很难再找到比这更好的故事了。

另外，“公式不存在”这件事也是有证明的。1887 年布伦斯证明了：用传统工具，也就是把能量那样“运动期间始终不变的量”组合起来构造解的式子这种办法，写不出三体问题的解。也就是说，三体问题不是“还没解开”，而是在与两体问题相同的意义上“解不开已成定局”。

把一生献给月球计算的人们

三体问题的历史，并不只是抽象数学的事。它是作为“精确预报月亮的位置”这一航海生死问题发展起来的。为了在大海上知道自己的位置，月球位置表是 18 世纪最重要的基础设施。

对精度的执念达到了不正常的水平。法国的德洛奈把近似月球运动的算式用手算展开了约 20 年，光是结果就填满了两卷厚书。一条式子连绵数百页，这是人类手算的到达点之一。另外 18 世纪还有过一次危机：月球轨道畸变的计算值只有观测值的一半，人们甚至怀疑“牛顿的引力定律是不是错了”（后来查明是计算近似的精度不足，定律得救了）。

现代的月球与行星位置表由超级计算机的数值计算制作，到月球的距离则靠激光测距以厘米级精度监视着。一个没有公式的问题，人类硬是用手算的执念与计算机的力量把它按到了实用水平。三体问题也是“解不开”与“用不了”完全是两码事这件事长达 200 年的实演。

仍然留着的谜，与奇迹般的解

“既然已经证明解不开，那不就完了吗？”您也许会这么想。可三体问题的乐趣，正是从这里往后才开始。

首先，对例外之美解的搜寻至今仍在继续。2000 年，人们严格证明了存在一种惊人的周期解：三个天体互相追逐着，持续画出一条 8 字形。随着计算机搜索的发展，近年已报告了数百乃至超过一千族新的周期解，“混沌之海上漂着的规则小岛”的地图绘制正在推进。解不开的问题里居然藏着无数这般齐整的运动，这个事实表明，距证明过去 100 年，三体问题仍未被舀干。

而最大的功课，是“太阳系稳定吗”这一问。有八颗行星的太阳系本身就是多体问题，处在混沌的支配之下。超级计算机的长期模拟显示，太阳系的轨道预测一旦超过数千万年就事实上不可能。此外还有计算结果报告称，今后数十亿年间水星轨道失稳、与金星或太阳相撞的剧本，会以虽小却不为零的概率发生。我们脚下的安稳，并不是被证明了的永恒，而是建立在“看来暂时没事”这种观测与计算的层层累积之上。

围绕混沌与计算的疑问

没有公式，探测器的轨道为何算得出来

因为是用数值计算一点点把未来垒起来的。方程本身是准确掌握的，所以以很短的时间步长计算“下一瞬间”并反复迭代，轨道就能被高精度地追踪。探测器航行与日食预报之所以可能，就是这个道理。混沌露出獠牙是在时间尺度变长的时候，而以年为单位的探测器运行中，误差被放大之前就能做轨道修正了。“没有公式”与“算不出来”是两码事，能把这里区分开，这个问题的分辨率就一下子提上去了。

科幻小说《三体》的设定现实中可能存在吗

被三颗恒星的引力玩弄的行星，这个设定正面用上了三体问题的混沌性。现实中三合星系并不罕见，恒星有三颗以上的系统里行星轨道容易失稳，也确实是实际的研究课题。不过现实中的三合星系大多稳定在“近的两颗＋远的一颗”这种分层配置上，这种情况下实质可以近似成两体问题的嵌套，所以并不全是小说里那么无法无天的环境。毋宁说“不稳定配置的星系会在漫长岁月里被淘汰，只有稳定配置活下来”这种演化视角，更接近现实宇宙的样子。

听说有个松德曼的“解”

问得很尖锐。其实 1912 年芬兰的松德曼成功地把三体问题的解表示成了无穷级数（无休无止地加下去的式子）的形式。数学上这是可以说“通解存在”的结果。那为什么不算解决呢？因为这个级数收敛慢得绝望，要取得实用精度需要天文数字的项数，而且对读出轨道的性质也毫无帮助。“式子写出来了，却什么也没弄明白”，这在数学世界里也算数一数二的讽刺结果，我觉得是让人思考“解开到底意味着什么”的好例子。