理发师悖论——只给不自己刮胡子的人刮胡子

大家好，我是 Senko。本文将解读“理发师悖论”。

某个村子里只有一位理发师，他按“给所有不自己刮胡子的人刮，凡是自己刮的人一个也不给刮”这条规矩营业。那么这位理发师自己的胡子，该由谁来刮呢？刮也好不刮也好，都会违反这条规矩。它作为把罗素悖论换成日常话语的版本很有名，可两者其实有一处决定性的差别。

村里只有一位理发师

先把设定仔细过一遍。

某个村子里只有一位理发师。这位理发师的营业规矩如下：

村民当中，凡是不自己刮胡子的人，一律由这位理发师来刮。村民当中，凡是自己刮胡子的人，这位理发师一概不刮。

换句话说，村民恰好分成两组：自己刮的人，和请理发师刮的人，既不重叠也无遗漏。

到这里听着还是再普通不过的生意，实际上就村民而言也确实没有任何问题。

出问题的地方，是在你想起理发师本人也是村民之一的时候。

关于理发师的胡子，可能性只有两种。

先设“理发师自己刮自己的胡子”。那么他属于自己刮的那一组；可按规矩的后半句，自己刮的人理发师一概不刮。既然是理发师在刮，那就等于没有自己刮。

再设“理发师不自己刮”。那么他属于不自己刮的那一组；可按规矩的前半句，不自己刮的人一律由理发师来刮。也就是理发师给理发师自己刮，结果还是等于自己刮了。

两种情形里，假设的内容都原封不动地被否定着弹回来，没有退路。

听完这个故事，人一般都想去戳设定的漏洞，而漏洞确实想得出来好几个。

这些确实都回避了矛盾，可回避得掉这件事本身，正是它们绕开了问题要害的证据。

这些漏洞无一例外，都是靠让“理发师本人不被包含在对象之内”来成立的。把自指切开矛盾自然消失，那不过是换个说法重述了这个问题究竟在戳什么。

反过来说，在对象必定包含自身的场面里，这条退路就用不了了。

集合论正是这样的状况。考虑“所有不包含自身的集合”时，这个集合体本身也是集合，没法把它挪到对象之外去，等于用不了“从村外请个理发师来”这种解法。

当成谜题时找漏洞是很有趣的，可要是不看看漏洞被堵死的那一刻会发生什么，就没法往下一节走。

把这个故事传向世间的是伯特兰·罗素，他在1918年的讲义录《逻辑原子主义哲学》里作了介绍。

罗素本人于1901年发现的罗素悖论，是用集合论的语言写的：考虑“把所有不以自身为元素的集合聚起来的集合”，这个集合是否包含自身都会导出矛盾。

对不熟悉“集合”这个词的人来说不好体会，于是换成了理发师的故事。结构完全一样，刮胡子这层关系对应着被包含于集合这层关系。

顺带一提，罗素说理发师这个比方并非自己的原创，而是从别人那里听来的，确切的想出者已不可考。

要紧的地方从这里开始。理发师的故事常被与罗素悖论等量齐观，可在逻辑上的严重程度完全不同。

理发师这边，出现矛盾时我们该下的结论清清楚楚，就是“这样的理发师并不存在”而已。

把互相矛盾的条件罗列出来，满足它们的东西不存在是理所当然的。这与“比1大又比0小的数”不存在是一回事，没什么可为难的。理发师的故事与其说是悖论，不如说是这种理发师不存在的证明。

罗素本人也明确指出过这一点，说理发师的故事并非真正的矛盾。

那么集合论那边，为什么不能照样打发掉呢。

当时的集合论有一条叫朴素概括公理的前提，约定是“只要写下某个条件，满足该条件者的全体所构成的集合就必定存在”。

在这个前提下，写下“不包含自身”这个条件的那一刻，对应集合的存在就被自动担保了，没法用“它不存在”来了事。

所以理发师那边可以用“不存在”收场，集合那边却成了“本该存在却自相矛盾”。看着形状一样，落脚点却全然不同。

弄懂这处差别之后，我对这个比方的看法就变了。它是那种为了好懂，把问题里最要紧的部分给掉了的例子。

理发师的论证本身以“这种东西不存在”收场。可同样形状的论证，在某些领域里会成为极其重要的定理。