贝里悖论——用19个字说出20个字说不出的最小数

大家好，我是 Senko。本文将解读“贝里悖论”。

请想一想“无法用二十个汉字以内表达出的最小自然数”这个说法。这样的数确实存在，可仔细一看，这句话本身只有19个字。本该无法用二十字以内说出来的数，就这样被用二十字以内说出来了。这是牛津的一位图书馆员发现、由罗素介绍到世间的著名难题。

想一个二十个字说不出来的数

先来想想用汉字把自然数说出来这件事。

“三”用1个字表示 3，“百万”用2个字就是 1000000，“二的十次方”用5个字能指 1024。只要肯下功夫，用很少的字也能表达相当大的数。

话虽如此，只要给能用的字数设个上限，能表达的数也就有了限度。这里把上限定为二十个字。

那么，“二十个字以内怎么也说不出来的自然数”存在吗？若存在，这类数当中最小的那一个就该唯一地定下来。

为了指出那个数，我们这样写：

无法用二十个汉字以内表达出的最小自然数

数一数，这句话正好19个字，收在二十个字以内。

也就是说，这个数本该无法用二十字以内说出来，可眼下已经被19个字说出来了。

先把一条退路堵上，就是“这样的数根本不存在吧”这个反驳。

汉字能用的种类是有限的，姑且算作1万种。二十个字以内的字符串，往多了估也只有1万的二十次方种。这是个大得离谱的数，但它终归有限。

另一边，自然数是无限的。用有限个表达没法给无限个数全部命名，所以必定会有“二十字以内表达不出的数”剩下来。

而自然数的集合只要非空，就必定有最小的元素，这是自然数的基本性质。

于是，成问题的那个数确实存在。存在，却一被点名就出矛盾，麻烦正在这里。

这套论证的弱点，在“表达得出”这个词本身。

上面的论证是在“二十字以内的每个表达指什么都能逐一确定”这个前提下推进的。可“无法用二十个汉字以内表达出的最小自然数”这句话本身，也是二十字以内的汉语。

那么，要定下这句话指什么，就必须先定下二十字以内所有表达各自指什么，而其中就包含它自己。

为了定下自己指什么，必须先知道自己已经指了什么。循环就出在这里，与说谎者悖论卡在“这句话是假的”上，是完全相同的结构。

换句话说，这套论证所显示的并不是关于自然数的矛盾，而是“表达得出”这个词在该语言自身之内无法定义这一事实。

在这个悖论上留了名的 G·G·贝里并非数学家，而是牛津大学博德利图书馆的馆员。

他把这个问题写成信寄给了伯特兰·罗素。罗素在1908年的论文里作了介绍，并明确写下贝里是想出者的名字，因此直到今天它都叫贝里悖论。

当时的罗素，正忙于应付自己发现的罗素悖论所动摇的集合论地基。“所有不包含自身的集合之集合”那里出的矛盾，与贝里的矛盾种类并不相同。

罗素悖论发生在集合这个数学对象上，贝里悖论则发生在“表达”这个词的意义一侧。前者多称作逻辑悖论，后者称作语义悖论，以作区分。

关于语义悖论，1930年代的阿尔弗雷德·塔斯基给出了决定性的梳理。

塔斯基所证明的是，某个语言里“为真”这个概念，在该语言自身之内无法定义。一想定义就必定生出矛盾。

要处理真理，得有上一层的语言；要处理那层语言的真理，还得再往上一层。把语言这样分成层级，循环就不会发生。

贝里悖论里出现的“表达得出”，待遇也完全一样。问题出在想用汉语谈论汉语的表达力，站到外面去看，矛盾就消失了。

我刚知道这个解法时，也觉得像是在躲；可细想之下，它也就是“尺子没法量自己”这么件寻常的事，如今我觉得这是很自然的结论。

有意思的是，这个悖论后来被当成了强力的工具。

1970年代，格雷戈里·蔡廷通过把贝里悖论形式化，证明了他自己的不完全性定理。着眼点在于，他把“说不短”换成了“短程序输出不了”。

把输出某个数的最短程序的长度，看作那个数的复杂度。于是就能得出这样的结论：超过某个固定长度的复杂度，在该体系之内无法证明。

体系存在一个测不到自身极限的上限。这大概是把哥德尔不完全性定理，从信息量这个另外的角度重说了一遍。

图书馆员想到的一句文字游戏，摇身变成了丈量计算界限的定理。悖论不只是用来砸东西的，有时也能成为工具，这就是个很好的例子。

把贝里悖论的位置钉清楚的，是英国数学家弗兰克·拉姆齐。他在1926年把自指所生的矛盾分成了两型。

名称	型	矛盾的材料	解决的方向
罗素	逻辑	集合这个数学对象	限制集合的造法
布拉利－福尔蒂	逻辑	全体序数的聚合	同上
说谎者	语义	“为真”这个词	给语言分层
贝里	语义	“表达得出”这个词	同上
理查德	语义	“可定义”这个词	同上