达朗贝尔悖论——理论上水的阻力等于零

大家好，我是 Senko。 本文将解读“达朗贝尔悖论”。

在水里前进的物体会受到阻力，只要游过泳的人都知道。可把18世纪流体力学的方程严格解出来，得到的答案却是那份阻力正好等于零。计算并没有错。这个矛盾在长达150年的时间里，把流体力学这个领域生生劈成了两半。

阻力等于零的计算结果

1752年，法国数学家让·勒朗·达朗贝尔发表了一篇关于流体阻力的论文。

他处理的是加了若干条件的理想流体：没有黏性、不可压缩、不生涡旋、流动不随时间变化。在这些条件下，他严格计算了物体周围的流动。

结果很干脆：物体前面受到的压力，与背面受到的压力完全持平。推过来的力与推回去的力互相抵消，净阻力等于零。

按物理图像来说，就是流体在物体前方平滑地分开，到后方又一次干净地合拢。前面减速掉的那部分在后面完全恢复，能量哪里也没有损失。

达朗贝尔本人也明白这个结论与现实不符。他在论文里这样写道：

若以一切严格性展开理论，至少在某些情形下，会得出阻力严格消失的结果。我看不出有什么办法能从理论上令人满意地解释它。这个奇妙的悖论，我愿留给后世的几何学家们。

流体力学裂成了两半

这个矛盾给此后这一领域的发展投下了很大的阴影。

一边是追求数学之美的流体力学。方程在欧拉、拉格朗日等人手里越发精致，却既说明不了船的阻力，也说明不了机翼的升力。

另一边是实际去修水渠、铺管道的工程师们的水力学。这一边靠实验得来的经验法则一层层堆上去，把现实的设计做成了，可说不出为什么会这样。

这个局面常被一句有名的挖苦概括：“水力学家观察着自己说不清的东西，流体力学家解释着自己看不到的东西”。明明处理的是同一个对象，却并立着两群说不上话的人。

普朗特找到的那一薄层

分出胜负是在1904年，距达朗贝尔的论文152年之后。

德国物理学家路德维希·普朗特在海德堡的学会上做了个只有十分钟左右的报告，内容是把目光投向物体表面极薄的那一层。

理想流体的计算里，黏性被置为零。实际的水与空气，黏性确实非常小，看着像是可以忽略。

可普朗特指出，唯独紧挨着物体表面的地方，黏性再小也不能忽略。在表面上流体的速度为零，因此从那里到稍远处之间，速度会急剧变化。这一薄层就是边界层。

在边界层里，速度变化剧烈，黏性的效果就显了出来；而且流动有时会在物体后半部从表面上剥离下来，这个现象叫作分离。

一旦发生分离，物体后面就会出现含着涡旋的紊乱区域。于是前后的压力不再持平，阻力便产生了。“在后方干净地合拢”这个理想流体的前提，实际上并不成立。

“置为零”与“趋近于零”是两回事

若要用一句话概括这个悖论的教训，那就是：

把黏性置为零来算，与让黏性无限趋近于零，两者的答案并不相同。

按寻常的感觉，小量是可以忽略的。可在这个问题里，黏性一被置为零，边界层这个舞台本身就消失了，算的已经是另一个世界。

数学里把这类情形叫作奇异极限。它是一个例子，说明“因为小所以能忽略”这个判断并非任何时候都管用。

知道这件事之后，我一听到“影响很小所以忽略了”这种说法，就会去在意：那种小，究竟是不是那种会连续地失效的小。我会警惕，也许存在一道让作用方式变质的界线。

阻力其实有好几种

达朗贝尔在计算里弄没了的，只是阻力的一部分。用现代的分类整理一下。

四种阻力

达朗贝尔的计算里消失的，是上面那两种。黏性一被置为零，摩擦阻力就无从定义；不发生分离，压差阻力也跟着没了。

有意思的是，这两者之间是互相拉扯的关系。把表面弄光滑，摩擦阻力是减了，可分离更容易发生，压差阻力反而会增加。高尔夫球上的凹坑，正是在这场拔河里去抢压差阻力的设计。

奇异极限在别的领域也有

“置为零”与“趋近于零”答案不同的现象，并非流体力学的专利。

• “几何光学”：把波长置为零，光就只会直行，衍射与干涉都消失了
• “古典力学”：把普朗克常数置为零，隧穿效应就消失，粒子越不过墙
• “牛顿力学”：把光速置为无穷大，同时性的相对性就消失了
• “统计力学”：把粒子数置为无穷大，相变才会出现

它们都是同一个形状：把小量置为零的那一刻，由这个量撑着的现象就整个消失了。

近似能不能用，并不只由量的大小决定，还得确认这个量归零时会失去什么。达朗贝尔悖论，正是这条教训最古老的实例。

它连着今天的飞机与船

普朗特的边界层理论，成了此后航空工程与造船工程的地基。

设计机翼形状时，让分离在哪里发生、或者干脆不让它发生，是决定性的关键。飞机的机翼会失速，也是因为迎角过大而发生了分离。

高尔夫球表面有凹坑，道理也一样。故意把表面的流动搅乱，改变边界层的性质，让分离发生的位置往后挪。结果后方那片紊乱的区域变小，飞行距离就变远了。

照说弄光滑该更省阻力，实际却相反。达朗贝尔150年前抛出的问题，答案如今活在身边工具的设计里。

升力的说明也在同一时期收了尾

达朗贝尔的计算说明不了的不只是阻力。机翼为什么会浮起来，在理想流体里同样讲不通。

对称的流动生不出上下压力差，于是升力也变成零，与阻力为零是同一个理由。

解开这个问题的是环量理论。1902年至1906年间，德国的马丁·库塔与俄国的尼古拉·茹科夫斯基各自独立地走到了这里。

想法是这样：机翼周围的流动里若加进一个叫作“环量”的、类似涡旋的成分，上表面的流动就快、下表面就慢，压力差随之产生。升力的大小与这个环量的强度成正比。

那么环量从哪里来。这里边界层就起作用了。当流动被调整成在机翼后缘平滑地离开时，作为它的反作用，机翼周围就留下了环量。

也就是说，阻力产生的理由与升力产生的理由，都在那层黏性起作用的薄层里。在理想流体里消失的两个现象，从同一个地方同时回来了。

飞机开始能飞的时期，与这套理论成型的时期几乎重合，我想并不是偶然。

与古典物理有关的悖论

明明是身边的现象，用直白的道理却讲不通——下面是与此相关的悖论。

结语

本文解读了“达朗贝尔悖论”。

明明把正确的方程严格解了出来，答案却与现实正相反。原因不在计算，而在一开始放下的“黏性为零”这个看似无害的假定。

小到可以忽略的东西，偏偏只在特定的地方起决定性作用。这个花了150年才找到的格局，我想在各个领域都用得上。

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我们下一篇文章见。

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