大家好，我是 Senko。 本文将解读“埃伦费斯特悖论”。
让圆盘以接近光速的速度转动，外周会沿行进方向收缩；而半径与转动方向成直角，所以不缩。于是圆周除以直径的值就偏离了圆周率π。本该坚硬的圆盘保不住形状——这个问题成了把爱因斯坦推向广义相对论的重要踏脚石。
转动的圆盘上会发生什么
先看一个静止的圆盘，半径记作 R，圆周是 2πR，就是再普通不过的圆。
现在让这个圆盘高速转动，直到外周部分的速度接近光速。这里分成两个部分来看。
外周上的一小片，正沿着圆的切线方向以极高的速度运动。运动的物体会沿行进方向收缩，所以这一小片会变短。把外周绕一圈加起来，圆周量出来就比 2πR 短。
另一边，沿半径的方向如何呢。转动的方向始终是圆的切线方向，因此半径与运动方向成直角。与运动方向成直角的方向上不发生收缩，也就是说半径仍是 R。
归纳起来就是：半径还是 R，只有圆周变短了。圆周除以直径 2R，得到的值就比 π 小。
以上是埃伦费斯特为了引出矛盾而搭的推理。不过这套推理里埋了一个陷阱：缩的是摆在外周上的“物”，而不是圆盘在静止系里所占的那个圆本身。这个区分，等到出答案时就会起作用。
圆盘保得住形状吗
矛盾就在这里。
圆盘若是坚硬的物体，转起来形状本该不变；可若只有圆周缩、半径不缩，那个圆盘就已经不是一个平坦的圆了。
换成实际材料来想，外周会被拉得比自然长度更长。若想保持半径 R 地转，外周的物质按原本的长度就不够用，只能带着张力一直转下去。这与贝尔飞船里细线绷紧到断裂，是完全相同的形状。
1909年提出这个问题的，是奥地利物理学家保罗·埃伦费斯特。那时距狭义相对论发表才过了四年。
“刚体并不存在”这个答案
以今天的理解看，答案的一半是“本来就没有坚硬的圆盘这种东西”。
相对论里没法考虑完全坚硬的物体，因为力的传递速度也超不过光速，一推就整体都动的物体是不可能的。这与贝尔飞船悖论里细线会断，根子上是一回事。
还有更严格的结果。按1910年前后赫格洛茨与诺特给出的定理，从静止状态出发、保持形状地让圆盘开始转动，在原理上做不到。
想让静止的圆盘转起来，必定有某处会受到应力：要保住半径，外周就被拉长；要让材料保持自然长度，这次轮到半径缩。无论哪一种，形状都会变。自相矛盾的不是相对论，而是“转动一个坚硬圆盘”这个设定。
转动世界里的几何学并不平坦
答案的另一半在更深的地方。
设想一位与圆盘一同转动的观测者，去量自己脚下的空间。沿着圆周一根根摆尺子，需要的根数会比静止的人数出来的更多。
因此，从转动的立场看到的空间里，圆周除以半径的值会大于 2π。圆周除以直径的话，非但不低于 π，反而高于 π。这在平坦的空间里是不可能发生的。
到这里，先前那个陷阱就被回收了。只要在静止系里看，圆盘占的仍是半径 R 的圆，圆周仍是 2πR。缩的是摆在外周上的尺子，正因如此转动的人才需要更多根。不是圆周变短了，而是量的那一方变短了。这里一旦弄反，就会得出“低于 π”这个方向相反的结论。
学校里学的欧几里得几何学，是以平坦空间为前提的。可仅仅因为在转动，这个前提就垮了。“从加速的立场看去，空间本身是弯的”——这个事实就显现在这里。
转动圆盘上的时钟会怎样
前面一直在谈长度，时间那一侧也有同样有趣的事情发生。
越靠外周，时间越慢
圆盘上的各点，离中心越远动得越快。动得快的时钟会变慢，所以放在圆盘中心的时钟与放在外周的时钟，走法并不相同。
而且慢的程度因地而异，随半径连续变化。就算想给整个圆盘定一个共同的时刻，也定不成。
在转动的系里，连“同时是什么”都无法唯一确定。这一点正是让埃伦费斯特的问题至今仍在争论的难处之一。
萨尼亚克效应与已经实用化的装置
转动对时间的影响，是能实际测出来的。
沿着圆形的路径，把光同时往顺时针和逆时针两个方向送出去。装置静止时两者会同时绕一圈回来；可装置一转动，到达的时刻就出现偏差，因为顺着转动方向走的光要追的距离更长。
1913年由乔治·萨尼亚克确认的这个现象，如今已成了实用品。
| 装置 | 用途 | 原理 |
|---|---|---|
| 环形激光陀螺 | 飞机、船舶的姿态控制 | 把光程差当作频率偏移检出 |
| 光纤陀螺 | 火箭、汽车、无人机 | 检出绕好的光纤内的相位差 |
| GPS 的时刻修正 | 定位计算 | 修正地球自转带来的路径差 |
它们没有转动部件，因此不磨损、响应也快。转动圆盘这个思想实验的题材，如今正作为保持客机姿态的装置在天上飞。
GPS 的计算需要萨尼亚克修正也是同一个理由：忽略地球自转，定位就会偏出几十米。一百多年前的争论，撑着的是每天的位置信息精度。
它把爱因斯坦引向了广义相对论
对这一点反应最强烈的，是阿尔伯特·爱因斯坦。
他那时已经走到了“加速与引力无从区分”的等效原理。转动也是加速的一种，而在转动的圆盘上，空间的几何学不再平坦。
由此便冒出了这样的念头：有引力的地方，会不会是空间本身弯了。也就是不再把引力当作力，而是当作时空的几何学来描述。
爱因斯坦本人在回顾通往广义相对论之路的文章里说过，对转动圆盘的思考起了决定性作用；此后他确实重新学了黎曼几何，并在1915年完成了广义相对论。
看起来像矛盾的东西，其实是新理论的入口。我认为这个走向，是最能体现“悖论”这种东西之价值的例子。
至今仍在争论的部分
话虽如此，这个问题并没有被完全了结。
转动圆盘上的长度该怎么定义、对与圆盘同转的观测者而言同时又是什么，这些论点在细处至今仍有争论。以挪威物理学家艾于温·格伦为首，单是这个主题就写出了大量论文。
因为问题的核心触到了“从加速的立场该怎样描述时空”这个难处。狭义相对论是处理惯性系之间关系的理论，遇上转动这类含加速的情形，就得谨慎对待。
一百多年前的思想实验至今仍是论文的题材，这实在是相当罕见的事。
自然界真有高速转动的天体
它看着像思想实验的话题，可宇宙里确实存在以极端速度转动的天体。
中子星的一种脉冲星，直径只有20公里上下，却发现过每秒转数百圈的。最快的那一类，据估算赤道附近的表面速度超过光速的10%。
到了这个规模，把它当刚体的近似就不管用了。研究中会把下面这些算进去。
- “形状的变形”：离心力让赤道方向鼓起来，不再是完整的球
- “内部的应力”：存在一个物质不被撕裂的转速上限
- “时间走法的差别”：表面与中心的时钟走法有偏差
- “时空的拖曳”：转动会把周围的时空本身拖着走
埃伦费斯特指出的“坚硬的圆盘转不起来”那个状况，在天体的尺度上正实实在在地发生着。
要正确处理转动的物体，需要一套从一开始就把变形算进去的理论。一百年前用思想实验得到的结论，被原样用在了观测对象的描述上。
与相对论有关的悖论
在接近光速的世界里，关于长度与同时性的日常感觉不再管用——下面是与此相关的悖论。
结语
本文解读了“埃伦费斯特悖论”。
只有圆周缩、半径不缩。从这个单纯的指摘里，导出了两件事：刚体这个概念用不了，以及在加速的立场上空间不再平坦。实际站在转动的立场去量，相当于圆周率的那个值不是低于 π 而是高于 π。即便如此，开出通往那里之路的，仍是这个朴素的矛盾。
而后者，又接上了“把引力重新看作几何学”这个念头。困人的矛盾成了理论的入口——就这层意义而言，我想它在物理学史上也占着数一数二的位置。
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📚 系列：世界经典悖论（49/81）
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