两个信封悖论——一换就必赚的怪计算

大家好，我是 Senko。 本文将解读“两个信封悖论”。

面前有两个信封，其中一个装着另一个的两倍的钱。选定一个之后去算期望值，得到的答案是换一下能多赚25%。可换完再照同样的算法算一遍，答案还是该换，于是没完没了。算式里哪儿都找不出错，唯独结论明显不对劲。

两个信封与换一换的邀请

规则非常单纯。

有两个信封，两个里面都装着钱。 其中一个装的正好是另一个的两倍。 哪个是哪个，无从得知。

你从中挑一个拿在手里，还没看里面。这时对方说“愿意的话，跟另一个换也行”。

按直觉，换不换都该一样。两个信封是对等地挑的，谈不上赚也谈不上亏。

“该换”的那套计算

只是，照下面这样算，答案就完全不同了。

把此刻手里信封的金额记作 X 元。另一个信封里装的，要么是 X 的两倍，要么是 X 的一半，两种可能性各占一半。

于是来算换过之后的期望值。

换后的期望值 ＝ 1/2 × 2X ＋ 1/2 × X/2 ＝ X ＋ X/4 ＝ 1.25X

手里的是 X 元，那么一换期望值就涨25%，看来还是换了好。

结果能无限换下去

问题从这里开始。

换过之后，手里是新的信封，里面同样没看。那就再照同样的算法算一遍。

把此刻手里的金额记作 X 元，另一个是 2X 或 X/2，期望值是 1.25X。结论又成了该换。

换了再换，换了又换。光是让信封来回倒手，期望值就能一直涨下去。这显然不对。

说得更直白些，就是选完之后“没选的那个永远更有利”；可两个信封是对等的，这种事不可能成立。

错在 X 这个字母的用法

算式本身看着没错。问题在于，X 这个字母在两个场景里被当成了不同的意思。

好好理一遍。把两个信封里金额的组合记作（Y 元、2Y 元），少的那个记作 Y。真正固定下来的是这一对。

这时可能发生的只有两种情形。

自己拿着 Y 元那个（概率 1/2）：换过去变成 2Y 元，赚 Y 元 自己拿着 2Y 元那个（概率 1/2）：换过去变成 Y 元，亏 Y 元

赚与亏都是同样的 Y 元，概率也各占一半，所以换来换去期望值的变化正好是零。这才是正确答案。

那么最初那套计算糟在哪里。写下“要么 2X 要么 X/2”的那一刻，上面两种情形里 X 的取值其实不同，却被当作同一个字母来处理了。

自己拿着 Y 元时，X＝Y；自己拿着 2Y 元时，X＝2Y。把取值不同的东西当作同一个 X 加起来，出来的自然是没有意义的数字。

看了里面又会怎样

那么把信封拆开，比如确认里面是 1 万元，又如何呢。这回 X 的取值已经定了，刚才那套说辞就用不上了。

这里起作用的，是“本来大概会装多少钱”这个前提。

主办方能备出的金额，按常理是有上限的。看到 1 万元时，另一个是 2 万元的可能性与是 5 千元的可能性，未必各占一半。比方说若认为主办方大约会在几千到几万元的范围内备钱，那么金额越大，“自己抽到的是多的那个”的可能性就越高。

好好放下概率的前提再算，换与不换的利弊会随金额而变；而把所有金额摊平之后，换的收益终归还是回到零。

反过来说，最初那套计算要成立，就需要“不管多少钱都各占一半”。这意味着金额没有上限、且无限均匀地铺开的分布，作为概率是不可能存在的。暗中用了一个不存在的前提——这就是那套计算的真身。

错误计算所用的几条前提

再整理一遍，最初那套计算用了好几条没有说出口的前提。

• “手里的金额 X 在任何场景都指同一个数”：实际上拿少的那个与拿多的那个时取值不同
• “对面是两倍还是一半永远各占一半”：与看到的金额无关而恒为一半的分布并不存在
• “金额没有上限”：有上限的话，看到高额时对面是一半的可能性就上升
• “期望值是有限的”：一旦去掉上限，期望值就成了无穷大，比较本身也就不成立

这几条里只要垮掉一条，“换永远有利”这个结论就出不来了。

我个人觉得有意思的是，这些在算式里一个字也没写。“记作 X”这样一句不经意的话，把四条前提一并塞了进去。

放下一个记号这件事本身，就已经含着主张。这是靠验算找不出来的那类错误，非得译回大白话重读一遍才察觉得到。

领带赌局这个原型

这个悖论的原型，据说是数学家莫里斯·克莱奇克在1930年代介绍的“领带赌局”。

两个男人各自系着新领带，比谁的领带更贵。规则是系着便宜那条的人，把自己的领带交给对方。

于是两人都这样想：以自己领带的价钱为准，赢了能拿到比自己更贵的领带，输了失去的也只是自己这条，所以这个赌对自己有利。

对双方都有利的赌是不可能成立的。信封那边同样的错误，在这里以更朴素的形状露了出来。

老实说我挺喜欢这个悖论，因为它属于式子写得越多，错误越看不见的那一类。用文字讲出来还能察觉不对劲，一旦写成算式就带上了说服力。我觉得它能让人看见自己“光看到数字排着就点头”的毛病。

代进具体数字确认一遍

光说话不容易服气，那就用具体金额数一遍。

主办方只备三种组合时

假设主办方备的组合是（1万元、2万元）（2万元、4万元）（4万元、8万元）三种，且概率相同。按拆开信封后看到的金额，把换的得失排出来。

乍看之下，除了8万元，全都是换更有利。可把每个金额出现的概率也算进去、整体加总起来，收益正好是零。

机关在于，出现8万元那一幕的损失特别大。有利的场面数量多但赚得少，不利的场面只有一个却亏得多，加起来干干净净地抵消掉。

若没有上限会怎样

那么主办方若不给金额设上限呢。上表里相当于“8万元”的、会亏钱的最上面那一档就不存在了。

只剩下有利的场面，于是确实什么时候换都赚；可这时候，信封里内容的期望值本身已经是无穷大了。

无穷大之间的比较没有意义，所以“换了能赚25%”这个结论也不成立。没有上限的设定并不是产生了矛盾，而是打一开始计算就无从定义。

与概率直觉相悖的悖论

计算是对的，答案却怎么也和直觉对不上——下面是与此相关的悖论。

结语

本文解读了“两个信封悖论”。

一套乍看完美的期望值计算，其实在“X 这个字母在不同场景指不同的数”这一点上就垮了。作为数学错误它并不起眼，可看穿它意外地难。

同一个记号是否指着同一样东西。计算所用的前提，是不是真能存在的东西。比起式子对不对，进入式子之前的词语定义才更危险——这是一道装满了这条教训的悖论。

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