哥德巴赫猜想——280 年无人能证的素数之和

大家好，我是 Senko。本文将解读数学上最古老的未解决问题之一——“哥德巴赫猜想”。

8 是 3＋5。20 是 3＋17，或者 7＋13。100 是 3＋97。就这么一路下去，大于等于 4 的偶数，个个都能写成“两个素数相加”。不妨随便挑几个偶数验一验，必定找得到。那么，能不能断言“所有偶数”都一定找得到呢？这个能讲给小学生听、还能拿来验着玩的问题，从 1742 年起，280 多年来一直挡退着全世界的数学家。

1742 年，始于两位数学家的通信

事情起于 1742 年 6 月，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫写给当世最强数学家莱昂哈德·欧拉的一封信。哥德巴赫在信的空白处，写下了自己关于数的一个观察。欧拉把它整理了一番，在回信中改写成了如今这个形式的猜想。

大于等于 4 的所有偶数，都能表示为两个素数之和。

欧拉在回信里写下了大意为“我认为这是完全确凿的定理，但我证明不了”的话。连欧拉都举了白旗的问题，此后继续堆起了一座白旗之山。它被列入希尔伯特 1900 年提出的 23 个问题中的第 8 问题（与黎曼猜想同列），历经 20 世纪数学的总动员，至今仍未了断。

顺带一提，哥德巴赫本人并没有留下载入史册的大定理，与其说是大家，不如说更像位爱好者型的数学家。而正是这个人信纸空白处的一个观察，成了挡退欧拉以及后世众多大数学家的难题而留名。我觉得这是个好例子，说明在数学世界里，提出一个好问题本身就可能是伟大的工作。

作为数学未解决问题它属于最资深的一档，而且题面之好懂在所有未解决问题中数一数二。这份“谁都能参与”的外观，也招来了后面要讲的那桩事。

验到 4×10^18，反例为零

进入计算机时代后，这个猜想接受了硬碰硬的验证。截至目前，已确认直到 4×10^18 为止的所有偶数都能写成两个素数之和，反例为零。

而且不只是“写得出来”。偶数越大，能写成两素数之和的方式数量还会不断增加。比如 100 有 6 种写法，1000 有 28 种。把这个表示法的个数画成图，会出现像彗星尾巴一样铺开的图案，被称作“哥德巴赫彗星”。既然偶数越大写法越丰富，那么突然冒出一个写不出来的偶数就很难想象。从概率的估算看，这个猜想也被认为“几乎肯定是对的”。

这条彗星铺得极开，到 10 万量级的偶数，写法就已达数百种。要让猜想破掉，就必须在 4×10^18 更遥远的彼方，藏着一个几百种候选无一幸免、全部覆没的偶数。大多数数学家不怀疑猜想的正确性，靠的正是这份压倒性的余裕。可即便如此，“有余裕”与“例外为零”是两回事——这就是数学的规矩。

即便到了这一步，数学也不会说它“已证明”。因为在 4×10^18 之后的下一个偶数上崩掉的逻辑可能性并不为零。正如本站幸存者偏差那篇也提到的，观察的累积与证明之间，隔着一道再多观察也填不平的沟。作为教人体会这道沟有多深的教材，我最喜欢这个猜想。

“差一点”的结果堆成了山

280 年的挑战并非白费。虽然够不到完全证明，“差一点”的结果却越堆越多。挑几个有代表性的列出来。

三个素数就可以：“大于等于 7 的所有奇数都能表示为三个素数之和”这一主张被称为弱哥德巴赫猜想，2013 年由秘鲁出身的数学家哈拉尔德·赫尔夫戈特发表了证明。这是 280 年历史中最大的推进
素数＋“几乎素数”就可以：1973 年，中国的陈景润证明了“充分大的偶数可表示为一个素数与一个‘素数或两素数之积’之和”（陈氏定理）。作为在文革迫害下完成的证明，这在中国是家喻户晓的故事
数大了基本就可以：1937 年，维诺格拉多夫证明了充分大的奇数可写成三个素数之和，为赫尔夫戈特铺平了道路

也就是说，现状是“三个已经做到了，两个多一点也走到了，唯独最后那‘两个’跨不过去”。终点明明看得见，最后一步却是绝壁——这种格局，在未解决问题里也算格外令人心焦的。

100 万美元悬赏与那本小说

2000 年，这个猜想以出人意料的方式被挂上了赏金。出版社费伯出版社为推销小说《彼得罗斯大叔与哥德巴赫猜想》，宣布谁能在两年内证明该猜想就付 100 万美元。那本小说讲的正是一位把人生献给这个猜想的数学家的故事。

结果不出所料，期限内没有证明出现，赏金无人领走。不过这场活动还有后话：世界各地寄来了海量的“伪证明”。正因为题面人人看得懂，连证明的难度也被看得太简单了。哥德巴赫猜想，同时也是数学“外表与内里落差”的象征。

实际拿几个小偶数分解一下，素数对会好找到让人泄气。“明明轻易就能找到，却说不了必定找得到”——这份感觉上的落差，动手做一遍就体会得到，所以我挺喜欢把它当作周末的头脑体操。

4×10^18 的验证是怎么推进的

光听 4×10^18 这个数字会觉得遥不可及，可验证背后有高效的巧劲。对每个偶数 n，从小的素数开始依次找“搭档”：先试 3，判断 n−3 是不是素数，不行就换 5、7、11。实际做起来会发现，绝大多数偶数在头几个素数上就找到搭档了。

验证项目的统计里留下了一个有趣的事实：直到 4×10^18 的所有偶数，作为较小那个素数，用不超过 9,781 这么小的素数就能完成分解。在 4×10^18 这个庞大世界的每个角落，找搭档的功夫都轻松得让人意外。这份“好找”本身，就成了支撑猜想正确性的有力旁证。

可它依旧成不了证明，因为这份好找终究只是“平均倾向”。倾向再强，也排除不掉哪怕一个例外的存在。考拉兹猜想那篇里也出现过同样的格局：“几乎确定”与“确定”之间的那道沟，正是未解决问题这个门类的主战场。

奇数的情形，与验证的极限

奇数会怎样

奇数未必能写成两个素数之和。把奇数拆成两个数相加，其中一个必为偶数，于是只有那个偶数一侧是素数（也就是 2）的情况才行，即只有“素数＋2”形式的奇数才写得出来（比如 11 就不行）。因此针对奇数立了一个较弱的猜想“三个素数之和”，这一条已在 2013 年被证明。偶数的两素数版若被证明，奇数的三素数版立刻可作为“偶数情形＋素数 3”而成立，两者是主从关系。

为什么不能用计算机全查一遍

因为偶数有无穷多个。算得再多也只能说“在查过的范围内成立”，要覆盖无穷的全部，就需要靠逻辑的证明。顺带一提，弱哥德巴赫猜想的证明中用了“大于某个巨大数的奇数用理论证明，小于它的用计算机全数验证”这种理论与计算的合击。这是全数验证作为证明一部分发挥作用的好例子，对思考计算机与数学的关系也很有意思。