孪生素数猜想——无名者用“7000 万”撼动数学界

大家好，我是 Senko。本文将解读素数类未解决问题中近年戏剧性最强的“孪生素数猜想”。

3 和 5、5 和 7、11 和 13、17 和 19。相差正好为 2 的素数对被称作孪生素数。素数越大分布越稀疏，可即便到了 10^18 的彼方，孪生素数依然零星地能找到。那么，“孪生素数有无穷多吗”？还是在某处就到头了？人人都相信它有无穷多，却谁也证明不了。这一僵局在 2013 年，被一位几乎默默无闻的 58 岁数学家凭一己之力打破了。下面连同这桩事件的来龙去脉一起介绍。

素数是无穷的，那孪生素数呢

先确认地基。素数本身有无穷多个，这在 2300 年前由欧几里得证明过，被视为数学史上最美的证明之一，也是反证法的教科书范例。

可一旦限定到“相差为 2 的素数对”，话题立刻变成现代数学的最前线。以一般形式最早把孪生素数猜想印成铅字的，据说是 1849 年法国数学家波利尼亚克，主张如下。

相差为 2 的素数组，存在无穷多个。

数值实验强烈支持这个猜想。孪生素数在大数世界里也不断被找到，目前已知最大的孪生素数达到约 39 万位这种量级。可这仍不构成“有无穷多”的证明。与哥德巴赫猜想一样，找到再多，也无法用逻辑否定它在更远处断掉的可能。

倒数之和揭示的孪生素数之“稀”

有一个漂亮的经典结果，道出了孪生素数的难处。

对全体素数取倒数相加（1/2＋1/3＋1/5＋……），其和会发散到无穷大。欧拉证明的这个事实意味着，素数不只是“有无穷多”，而且分布得还算浓密。

可 1919 年，挪威数学家布伦证明了一个令人震惊的结果：孪生素数的倒数之和收敛到一个有限值。这个值被称作“布伦常数”，估计约为 1.902。

它意味着，孪生素数（即使真有无穷多）也比全体素数稀薄得多、散得多。也就是说，孪生素数猜想主张的不是“浓密之物有无穷多”，而是“极其稀薄之物却仍不枯竭”，而这份稀薄正是阻挡证明的那堵墙。顺带一提，布伦为这个证明开发的“筛法”，此后成了素数研究的主力兵器。解不开的问题催生工具——这是未解决问题典型的贡献方式。

2013 年，无名数学家掀起的大事件

打破长久僵局的，是一位甚至不是大学专任教授的人。

张益唐是一位取得博士学位后未能获得研究职位、辗转做过会计与快餐店工作的数学家。虽然在新罕布什尔大学谋到讲师职位，研究成果却几乎无人知晓，就这样迎来了五十多岁。

2013 年 4 月，他投给数学界最顶级专业期刊的论文让编辑部大吃一惊。主张是：“相差落在 7000 万以下某个定值之内的素数对，存在无穷多个。”

7000 万和 2 看起来天差地别。可这个结果的意义在于，“素数对的间隔，第一次被证明存在有限的上界”。此前是“无论差是多少，那样的素数对是否无穷多都不清楚”，如今则确定了“至少在某个差值上是无穷多的”。这是从零到一的跳跃。期刊以异乎寻常的速度完成审稿，无名的 58 岁一夜之间成了数学界的英雄。

此后的发展更富戏剧性。全世界的数学家在互联网上的协作项目里展开了压低上界的竞赛，加上年轻的詹姆斯·梅纳德带来的新手法，7000 万在不到一年里就被压到了 246。如今的纪录仍是 246。只要这个数字再缩到 2，孪生素数猜想就解决了。

“还差 244”究竟有多远

那么，从 246 到 2 是时间问题吗？很遗憾，人们并不这么看。

已知现有手法存在理论上的极限：即便假定某个强力猜想（埃利奥特–哈伯斯塔姆猜想）被证明，沿着当下的路线能抵达的也只到 6。通往 2 的最后一步，用既有工具原理上就够不着。专家的共识是，要解决孪生素数猜想，需要再来一次超越张益唐那种冲击的、全新的想法。

这个格局与本系列的哥德巴赫猜想如出一辙：那边是“三素数做到了，两素数是绝壁”，这边是“压到 246 了，2 是绝壁”。终点前的最后一步，比此前的全部路程都远。把两个问题并排看就能体会到，在未解决问题的世界里，这种不讲理的距离感反倒才是常态。

预言个数的公式，其实早就有了

不可思议的是，孪生素数的世界里早已存在能说中个数的预言公式。1923 年，英国的哈代与李特尔伍德发表猜想：直到 x 为止的孪生素数对数，可用“约 1.32×x÷（x 的对数的平方）”来近似。对数大致就是“与位数成正比、缓慢增长的量”，所以这条预言说的是：孪生素数越往后越稀薄，但会以固定的节奏减少。

这条公式命中得相当漂亮，用计算机实际数出的孪生素数个数与预言值一直高精度吻合。也就是说，孪生素数的世界处在一种古怪的状态：“有多少个的预言一直在命中，可‘有无穷多’这个要紧的证明却没有。”就像天气预报天天都准，却证明不了明天太阳还会升起，别扭得很。

作为对照，素数间隔在上方可以要多宽有多宽，这一点很容易证明。比如给 101 的阶乘分别加上 2 到 101 得到的 100 个数，各自都有明显的因数，因此是连续的合数。也就是说，没有素数的“沙漠”想造多长就能造多长。在可以无限延展的沙漠之中，唯独相邻的绿洲对能不能一直延续下去？孪生素数猜想那份微妙的险，从这个对照里看得很清楚。

揪出电脑缺陷的孪生素数

孪生素数还有一项在数学之外扬名的罕见战绩。

1994 年，美国数学家托马斯·奈斯利为高精度计算布伦常数，正在大量计算孪生素数的倒数。可用新买的电脑算出来的结果与理论值对不上。一路追查原因后，他发现问题不在电脑本身，而是当时最新的英特尔 CPU 的除法电路里潜藏的设计错误。

这就是世称的奔腾 FDIV 缺陷事件。英特尔起初不愿处理，在批评声浪下被迫全面更换产品，计入了巨额损失。一项常被视作纯数学消遣的孪生素数计算，揪出了全世界个人电脑的质量问题。“没用的数学”在意想不到的地方露出獠牙——这是我很喜欢的一段轶事。

从表兄素数到最新的观战方式

听说孪生之后还有“表兄素数”和“性感素数”

有的。相差 4 的对叫“表兄素数”，相差 6 的对叫“性感素数”（源自拉丁语的 6＝sex，是数学家有点恶作剧的命名）。波利尼亚克最初的猜想是一般形式：“对任意偶数差，该差值的素数对都有无穷多”，孪生只是其中的代表选手。张益唐之后的结果所保证的，只到“在 246 以下的某个差值上有无穷多”，至于那究竟是差 2 还是差 100，仍无法确定。当前的理论，就处在这样一个既有趣又让人心痒的位置。

素数既然无穷，孪生素数无穷不是理所当然吗

直觉是这么说，可并不理所当然。事实上，“相差为 2 的素数三胞胎”（p、p＋2、p＋4 都是素数）只有 3、5、7 这一组，这很容易证明（因为三者中必有一个是 3 的倍数）。素数纵然无穷，特定的模式也可能是有限的、到此为止的。所以孪生是否无穷，是一个必须去证明的真问题。

外行有办法追最新进展吗

张益唐的故事已成为数学非虚构写作的经典题材，也有纪录片影像。而从 7000 万压到 246 的竞赛，是在名为“Polymath 项目”的在线协作研究中进行的，过程至今公开。就算追不了专业内容，看着纪录一点点缩小，也能像看体育比赛一样享受。作为数学正从孤独密室的营生转向网络集体战的现场，我觉得这也是个有意思的题材。