齐普夫定律——第二名是第一名的一半，第三名是三分之一

大家好，我是 Senko。本文将解读潜伏在语言与世间数字里的奇妙规律“齐普夫定律”。

把一篇文章里出现的词按使用次数从多到少排开，会浮出一条漂亮得惊人的规律：以最常用的词为基准，第二名约是它的一半，第三名约是三分之一，第四名约是四分之一，排名越往下，出现次数就越工整地递减。也就是说，把“排名”与“出现次数”相乘，得到的值大致相同。这就是齐普夫定律。而且这条规律不止出现在语言里，城市人口、收入分布等世间各处都能看到它的脸。本文介绍它的趣味所在，以及它为何如此。

什么是齐普夫定律

齐普夫定律（英文 Zipf’s law）是这样一条经验法则：“把一批事物按频率从高到低排开时，其频率与排名成反比。”它最初由美国语言学家乔治·齐普夫在考察语言使用方式时发现。

把“成反比”换成具体的话就是：第二名以第一名约二分之一的频率出现，第三名约三分之一，第十名约十分之一。换个说法，把“排名”乘上“频率”，无论第几名，得数都差不多。第一名的频率若是 1000，第二名约 500（2×500=1000），第十名约 100（10×100=1000），就是这个意思。

考察英语文章时可以看到，以最常用的 the 为首，词的出现次数与这条定律吻合得很漂亮。中文里把“的”“了”“是”这类高频词从上往下排，也能看到类似的倾向。一小部分词被用得格外多，剩下的绝大多数只出现寥寥几次，而这份偏斜的形状竟规整得惊人。

亲身体会“排名×频率＝恒定”

这条定律有意思的地方在于，排在前面的东西所占比重超出想象。我们用数字感受一下。

比方说数一数某本书里出现的词：第一名的词占整体 7%，第二名占 3.5%，第三名占 2.3%……排名越往下越工整地减少。这里值得注意的是，区区一小撮词，就占掉了整篇文章相当大的一部分。光是排在前面的几个词就填满了文章的好几成，而绝大多数词只出现屈指可数的次数。

我们平日自以为在使用庞大的词汇量，可真正被反复使用的词，其实极为有限。这种“少数支配整体，多数薄薄地摊得很长”的形状画成图，就是一条先陡然下坠、之后平缓地长长拖尾的独特曲线。这条长长的尾巴（长尾），正是齐普夫定律外观上的特征。

这份偏斜之大，看具体比例就更惊人了。据说在英语文章里，常用的前 100 个词左右，就占掉了整篇文章的将近一半。明明有着数万词的词汇量，实际承担文章大半的却只是一小撮常客。“the”“的”这类意思稀薄的词被大量使用，而意涵丰富的词反倒出场很少。齐普夫定律就以一道漂亮的公式，潜伏在这份略带讽刺的偏斜之中。

不只语言——铺展到世间各处的规律

齐普夫定律真正不可思议之处，在于它也适用于语言之外、看似毫不相干的对象。

有名的例子是城市人口。把一个国家的城市按人口从多到少排开，许多国家都能看到这样的倾向：第二大城市的人口约为第一的一半，第三约为三分之一。与词频完全相同的形状，出现在了城市规模上。

类似的偏斜还在收入与资产的分布、企业规模、网站访问量、书的销量等各种场合被报告过。极少数的庞然大物与无数的小东西，按规整的比例排开。领域完全不同，同一个数学形状却反复出现——这份普遍性吸引了许多研究者。

比方说，想想视频网站或电商。访问量集中在极少数大热的视频与商品上，而播放量或销量微乎其微的作品，多到令人发晕。这种“少许爆款加无数小众”的结构，正是齐普夫定律所描绘的形状。也可以说，网络给曾被埋没的那条“长尾”打上了光。一条从词频这样朴素的观察出发的定律，竟能连到解读当代商业的视角上，我觉得挺有意思。本站的本福特定律讲的也是跨越单位与领域、数字中共通的偏斜，而齐普夫定律则从“排名与规模的关系”这个另外的角度，照出了世间的偏斜。

这种规律为什么会产生

那么为什么同样的形状会如此广泛地出现呢？其实，关于原因，至今也没有一个明确的答案。这一点要如实按住。不过有几种被认为有力的说法。

齐普夫本人提出的是“最省力原理”。人在用语言时，同时抱着两种心情：尽量省事（用尽量少的词汇打发过去）与好好传达给对方（想把词用得有区分）。当“想省事”与“想传准”这场拉锯取得平衡时，结果就生出了齐普夫定律那样的分布——这是他的解释。

另一方面也有人指出，从更简单的机制出发，这个形状也会自然浮现。比如有研究显示，不考虑意思、单纯胡乱敲出的“文章”，也会呈现类似齐普夫定律的分布。也就是说，这条规律有可能并非源自语言的意义本身，而是源自“对某物计数并排名”这一行为的性质。连原因都还没被完全弄清——包括这一点在内，齐普夫定律是个相当有深度的现象。

关于齐普夫定律常见的疑问

它和本福特定律有什么不同

两者都处理世间数字里潜藏的规律性偏斜，像是一对表亲，但关注的对象不同。本福特定律关注“数字的首位”，指出以 1 开头的数最多这份偏斜；而齐普夫定律关注“排名与规模（频率）的关系”，指出排名越往下，规模越工整地成反比缩小。着眼点不同，但“自然生成的数据里会出现共通的数学形状”这份发现的趣味，是两者共通的。配套知道，看数字世界的眼光就宽了。

它和帕累托法则有关系吗

关系很深。帕累托法则是表示“向少数集中”的经验法则：“整体成果的八成由前两成创造。”齐普夫定律在极少数占掉整体大部分这一点上，也是把同一种“偏斜结构”换个形式说出来。其实两者在数学上同属被称为“幂律”的一族，共有着少数庞然大物与多数小东西规律排布的骨架。把世间的偏斜按排名去看是齐普夫，按比例去看是帕累托——这样想大概好懂一些。

能自己验证吗

轻松就能做。推荐的是数一数手边文章里出现的词：找一篇长一点的文章，数每个词出现了几次，再按多到少排开。你会看到排在最前的几个词格外多，排名一往下就骤减。或者把自己所在国家的城市按人口排一排，也是个有趣的实验：若第二名城市大致是第一名的一半，那里就有齐普夫定律在起作用。能靠自己的手在身边的数字里找出隐藏的规律，我觉得这是这条定律最好玩的地方。