投票悖论——明明是多数决，民意却无法体现

大家好，我是 Senko。本文将解读“投票悖论（孔多塞悖论）”。

多数决是最公平的决策方式——这么想的人应该不少。然而，当选项达到三个以上时，多数决有时并不能正确反映民意。而且这绝非罕见的例外，而是相当频繁地可能发生。

悖论的内容

这是 18 世纪法国数学家孔多塞发现的问题。

假设有 3 位投票者和 3 位候选人 A、B、C。各投票者的偏好如下：

A 与 B 单挑：偏好 A 胜过 B 的有 2 人（投票者 1 和 3），A 赢。 B 与 C 单挑：偏好 B 胜过 C 的有 2 人（投票者 1 和 2），B 赢。 C 与 A 单挑：偏好 C 胜过 A 的有 2 人（投票者 2 和 3），C 赢。

A > B > C > A ……就这样循环起来，多数决选不出赢家。

这个悖论表明：集体的偏好未必像个人偏好那样拥有合理的顺序。

个人偏好满足“喜欢 A 胜过 B、喜欢 B 胜过 C，那么喜欢 A 胜过 C”（传递律）。但用多数决汇总出的集体偏好，这条传递律会崩坏。

这是多数决方法本身的缺陷：只要操纵投票顺序和对决组合，就能改变结果。如果主持人有权决定表决顺序，那么“先让哪两个候选对决”就能左右最终结果。这被称为“议程操纵（agenda manipulation）”。

孔多塞本人是活跃于法国大革命时期的人物。基于这一发现，他提出了“孔多塞规则”——若存在能在所有一对一对决中获胜的候选人（孔多塞赢家）就选他。但如上所示，一旦发生循环，孔多塞赢家并不存在，这套规则本身并不完备。

把孔多塞悖论进一步一般化的，是肯尼斯·阿罗于 1951 年证明的不可能定理。

阿罗证明：当选项达到三个以上时，同时满足以下全部条件的投票制度“除了独裁制之外不存在”。

也就是说，完全公平的投票制度在数学上不可能存在。阿罗凭这项成果获得了 1972 年诺贝尔经济学奖。

顺带一提，选项只有两个时不会出现这个问题。多数决只有在二选一时才是完全公平的制度。问题只在三个以上选项并存时出现。

现实的选举中，结果因投票方式而改变的情况并不罕见。

在单一选区制下，选票分裂有时会让“最不受欢迎的候选人当选”：政见相近的候选人 A 和 B 互抢选票，属于少数派的候选人 C 反而胜出。

比例代表制、两轮决选制、排序投票制……各种选举制度被设计出来，但按照阿罗定理，任何制度都无法避免某种缺陷。

2000 年美国总统大选是现实中的好例子。在佛罗里达州，小布什以 537 票之差击败戈尔，而第三候选人拉尔夫·纳德获得了约 97,000 票。纳德的支持者大多倾向戈尔，若没有纳德参选，戈尔获胜的可能性很高。“无关的选项（纳德）”改变了 A 与 B 的胜负——正是阿罗定理警告过的局面。

以下是与投票悖论同样涉及“集体无法做出合理决定”的相关悖论。

本文解读了“投票悖论”。

多数决未必总能给出正确结果——这个事实给了我们一个深入思考民主制度机制的契机。正因为完美的投票制度不存在，理解其局限并善加运用，或许才是最要紧的。

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