投票悖论——明明是多数决，民意却无法体现

大家好，我是 Senko。本文将解读“投票悖论（孔多塞悖论）”。

多数决是最公平的决策方式——这么想的人应该不少。然而，当选项达到三个以上时，多数决有时并不能正确反映民意。而且这绝非罕见的例外，而是相当频繁地可能发生。

悖论的内容

这是 18 世纪法国数学家孔多塞发现的问题。

假设有 3 位投票者和 3 位候选人 A、B、C。各投票者的偏好如下：

A 与 B 单挑：偏好 A 胜过 B 的有 2 人（投票者 1 和 3），A 赢。 B 与 C 单挑：偏好 B 胜过 C 的有 2 人（投票者 1 和 2），B 赢。 C 与 A 单挑：偏好 C 胜过 A 的有 2 人（投票者 2 和 3），C 赢。

A > B > C > A ……就这样循环起来，多数决选不出赢家。

这个悖论表明：集体的偏好未必像个人偏好那样拥有合理的顺序。

个人偏好满足“喜欢 A 胜过 B、喜欢 B 胜过 C，那么喜欢 A 胜过 C”（传递律）。但用多数决汇总出的集体偏好，这条传递律会崩坏。

这是多数决方法本身的缺陷：只要操纵投票顺序和对决组合，就能改变结果。如果主持人有权决定表决顺序，那么“先让哪两个候选对决”就能左右最终结果。这被称为“议程操纵（agenda manipulation）”。

孔多塞本人是活跃于法国大革命时期的人物。基于这一发现，他提出了“孔多塞规则”——若存在能在所有一对一对决中获胜的候选人（孔多塞赢家）就选他。但如上所示，一旦发生循环，孔多塞赢家并不存在，这套规则本身并不完备。

把孔多塞悖论进一步一般化的，是肯尼斯·阿罗于 1951 年证明的不可能定理。

阿罗证明：当选项达到三个以上时，同时满足以下全部条件的投票制度“除了独裁制之外不存在”。

也就是说，完全公平的投票制度在数学上不可能存在。阿罗凭这项成果获得了 1972 年诺贝尔经济学奖。

顺带一提，选项只有两个时不会出现这个问题。多数决只有在二选一时才是完全公平的制度。问题只在三个以上选项并存时出现。

现实的选举中，结果因投票方式而改变的情况并不罕见。

在单一选区制下，选票分裂有时会让“最不受欢迎的候选人当选”：政见相近的候选人 A 和 B 互抢选票，属于少数派的候选人 C 反而胜出。

比例代表制、两轮决选制、排序投票制……各种选举制度被设计出来，但按照阿罗定理，任何制度都无法避免某种缺陷。

2000 年美国总统大选是现实中的好例子。在佛罗里达州，小布什以 537 票之差击败戈尔，而第三候选人拉尔夫·纳德获得了约 97,000 票。纳德的支持者大多倾向戈尔，若没有纳德参选，戈尔获胜的可能性很高。“无关的选项（纳德）”改变了 A 与 B 的胜负——正是阿罗定理警告过的局面。

孔多塞悖论对实务影响最大的一点，是定表决顺序的人就能定下结果。

设有A、B、C三案，多数决的关系绕成了一个环。用淘汰赛的方式两两相比时，按什么顺序对阵，胜者就会变。

对阵顺序	第一轮	决赛	最终的胜者
先比A与B	A胜	A对C则C胜	C
先比B与C	B胜	B对A则A胜	A
先比C与A	C胜	C对B则B胜	B

也就是说，所有人的偏好一点没变，只靠议事顺序就能出三种结论。

把想灭掉的方案早早拉去对战，把想通过的方案留到决赛。这被称作“议程操纵”，在实际的议会运作中也是被意识到的技术。

之所以强调议长要中立，正因为有这样一个结构在——这样想就顺了。

关于现实的投票里这种循环发生到什么程度，是有研究的。

选项的数目与投票者的数目越多，产生循环的概率就越高。不过在实际的选举数据中被确认出循环的例子并不多。

现实中之所以少，一个理由是选民的偏好多半带有“单峰性”。争点若排在左右这样一条轴上，循环就不会产生。

反过来说，争点越是跨越多条轴，循环就越容易发生。经济政策、社会政策与外交纠缠在一起的场面，正属于此类。

多数决并非万能，知道这一点没有坏处。尤其在选项有三个以上的会议里，值得放在心上。

为减少多数决的循环，人们设计过各种投票方式，各有长短。